5. (1 балл) Осевое сечение цилиндра есть квадрат, диагональ которого равна $$4\sqrt{2}$$ см. Вычислите объём цилиндра.

Пусть сторона квадрата (осевого сечения цилиндра) равна $$a$$. Диагональ квадрата равна $$a\sqrt{2}$$. По условию, $$a\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$$, следовательно, $$a = 4$$ см. Так как осевое сечение - квадрат, то высота цилиндра равна стороне квадрата, т.е. $$h = a = 4$$ см. Также сторона квадрата равна диаметру основания цилиндра, поэтому радиус основания цилиндра равен $$r = a/2 = 4/2 = 2$$ см. Объём цилиндра вычисляется по формуле $$V = \pi r^2 h$$. Подставляем известные значения: $$V = \pi (2^2) (4) = 16\pi \text{ см}^3$$ Ответ: $$16\pi$$ см$$^3$$