7. (2 балла) Образующая конуса составляет с плоскостью основания угол 45°, высота конуса равна $$3\sqrt{2}$$ см. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Пусть дана образующая конуса $$l$$, высота конуса $$h = 3\sqrt{2}$$ см, радиус основания $$r$$. Угол между образующей и плоскостью основания равен $$45^{\circ}$$. Образующая, высота и радиус образуют прямоугольный треугольник, в котором угол между образующей и радиусом равен $$45^{\circ}$$. Следовательно, $$h = r = 3\sqrt{2}$$ см. Образующая конуса $$l$$ может быть найдена по теореме Пифагора: $$l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{(3\sqrt{2})^2 + (3\sqrt{2})^2} = \sqrt{18 + 18} = \sqrt{36} = 6 \text{ см}$$ Площадь боковой поверхности конуса равна $$\pi r l$$. Подставляем известные значения: $$S_{бок} = \pi \cdot 3\sqrt{2} \cdot 6 = 18\sqrt{2}\pi \text{ см}^2$$ Ответ: $$18\sqrt{2}\pi$$ см$$^2$$