6. (2 балла) Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, боковое ребро которой равно 12 см и образует с плоскостью основания угол 60°.

Пусть дана правильная четырёхугольная пирамида $$SABCD$$, где $$S$$ - вершина, $$ABCD$$ - квадрат в основании, а $$O$$ - центр основания (точка пересечения диагоналей). Боковое ребро равно 12 см, например, $$SA = 12$$ см. Угол между боковым ребром и плоскостью основания равен $$60^{\circ}$$, то есть $$\angle SAO = 60^{\circ}$$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $$SAO$$. В нём $$\angle SAO = 60^{\circ}$$ и $$SA = 12$$ см. Мы можем найти $$AO$$ и $$SO$$, используя тригонометрические функции. $$AO = SA \cdot \cos 60^{\circ} = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6 \text{ см}$$ $$SO = SA \cdot \sin 60^{\circ} = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3} \text{ см}$$ $$SO$$ - это высота пирамиды $$h = 6\sqrt{3}$$ см. $$AO$$ - это половина диагонали квадрата основания. Пусть сторона квадрата равна $$a$$. Тогда диагональ квадрата равна $$a\sqrt{2}$$. Значит, $$AO = \frac{a\sqrt{2}}{2}$$, и отсюда $$a\sqrt{2} = 2 \cdot AO = 2 \cdot 6 = 12$$, следовательно, $$a = \frac{12}{\sqrt{2}} = 6\sqrt{2}$$ см. Площадь основания (квадрата) равна $$a^2 = (6\sqrt{2})^2 = 36 \cdot 2 = 72 \text{ см}^2$$. Объём пирамиды равен $$\frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot h$$. Подставляем известные значения: $$V = \frac{1}{3} \cdot 72 \cdot 6\sqrt{3} = 24 \cdot 6\sqrt{3} = 144\sqrt{3} \text{ см}^3$$ Ответ: $$144\sqrt{3}$$ см$$^3$$