4. (1 балл) В треугольнике DEF на сторонах DE и EF отмечены точки К и 1 соответственно. Из этих точек опущены перпендикуляры КН и LP к прямой DF, причём КН = LP, ZDKH = ∠PLF. Докажите, что DE = EF.

Рассмотрим треугольники DKH и LPF:

1. KH = LP (по условию)
2. ∠DKH = ∠PLF (по условию)
3. ∠DHK = ∠PLF = 90° (KH и LP - перпендикуляры)

Значит, треугольники DKH и LPF равны по стороне и двум прилежащим углам (по второму признаку равенства треугольников), следовательно, DK = FL.

Рассмотрим треугольники DFE:

1. ∠D = ∠F (так как ΔDKH = ΔLPF, ∠D = ∠F)
2. ∠E - общий

Так как ∠D = ∠F, то треугольник DEF - равнобедренный, следовательно, DE = EF.

Ответ: DE = EF.