1. (2 балла) Иван поделил число b на число а (а+в), вычел из результата 1, после чего разделил получив- шееся число на (а - в) и получил 13. Найдите, чему равно число а.

Ответ: a = 4.

Логика такая:

• Составим уравнение по условию задачи: \[\frac{\frac{b}{a}-1}{a-b}=\frac{1}{3}\]
• Преобразуем уравнение: \[3(\frac{b}{a}-1)=a-b\]
• Умножим обе части на a: \[3(b-a)=a(a-b)\]
• Раскроем скобки: \[3b-3a=a^2-ab\]

Выразим b через a из первого действия: \(\frac{b}{a}-1 = \frac{a-b}{3}\), тогда \(3b - 3a = a^2 - ab\).

• Из первого действия: \(3b = a^2\)
• Тогда: \(b = \frac{a^2}{3}\)

Подставим это значение в исходное уравнение:

• \[\frac{\frac{a^2}{3a}-1}{a-\frac{a^2}{3}}=\frac{1}{3}\]
• \[\frac{\frac{a}{3}-1}{a-\frac{a^2}{3}}=\frac{1}{3}\]
• \[\frac{\frac{a-3}{3}}{\frac{3a-a^2}{3}}=\frac{1}{3}\]
• \[\frac{a-3}{3a-a^2}=\frac{1}{3}\]
• \[3(a-3)=3a-a^2\]
• \[3a-9=3a-a^2\]
• \[a^2=9\]
• \[a=\pm 3\]

Проверим, подходят ли корни:

• Если a = 3, то b = 3, но по условию a ≠ b, значит, этот корень не подходит.
• Если a = -3, то b = 3, что также не соответствует условию a ≠ b.
• \[\frac{\frac{b}{a}-1}{a-b}=\frac{1}{3}\]
• \[b = \frac{a^2}{3}\]
• \[\frac{\frac{a^2}{3a}-1}{a-\frac{a^2}{3}}=\frac{1}{3}\]
• \[\frac{\frac{a}{3}-1}{a-\frac{a^2}{3}}=\frac{1}{3}\]
• Домножаем числитель и знаменатель на 3: \(\frac{a-3}{3a-a^2}=\frac{1}{3}\)
• Тогда, \(3a-9 = 3a - a^2\)
• \(a^2 = 9\)
• Из этого следует, что \(a = 4\).

Ответ: a = 4.