2. (2 балла) Решите неравенство (x² - 7x + 10) (2x-4) ≥ 0

Ответ: x ∈ [2; 2] ∪ [5; +∞)

Решим неравенство методом интервалов.

Шаг 1: Найдем корни каждого множителя:

Первый множитель: \(x^2 - 7x + 10 = 0\)

Решаем квадратное уравнение через дискриминант:

\(D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 49 - 40 = 9\)

\(x_1 = \frac{7 + \sqrt{9}}{2} = \frac{7 + 3}{2} = 5\)

\(x_2 = \frac{7 - \sqrt{9}}{2} = \frac{7 - 3}{2} = 2\)

Второй множитель: \(2x - 4 = 0\)

\(2x = 4\)

\(x = 2\)

Шаг 2: Отметим корни на числовой прямой:

----[2]----[5]---->

Шаг 3: Определим знаки на каждом интервале:

• \(x < 2\): \((x^2 - 7x + 10)\) будет положительным (например, при \(x = 0\): \(0 - 0 + 10 = 10 > 0\)), \((2x - 4)\) будет отрицательным (например, при \(x = 0\): \(0 - 4 = -4 < 0\)). Значит, произведение отрицательное.
• \(2 < x < 5\): \((x^2 - 7x + 10)\) будет отрицательным (например, при \(x = 3\): \(9 - 21 + 10 = -2 < 0\)), \((2x - 4)\) будет положительным (например, при \(x = 3\): \(6 - 4 = 2 > 0\)). Значит, произведение отрицательное.
• \(x > 5\): \((x^2 - 7x + 10)\) будет положительным (например, при \(x = 6\): \(36 - 42 + 10 = 4 > 0\)), \((2x - 4)\) будет положительным (например, при \(x = 6\): \(12 - 4 = 8 > 0\)). Значит, произведение положительное.

Шаг 4: Запишем решение, учитывая знак ≥:

\(x = 2\) (так как в этой точке неравенство обращается в ноль), \(x ≥ 5\)

Ответ: x ∈ [2; 2] ∪ [5; +∞)