5. (3 балла) В саду растут яблони, груши и сливы. Яблони составляют \frac{7}{16} всех деревьев, груши − \frac{8}{15} оставшегося, а сливы − 42 дерева. Сколько всего деревьев в саду?

Решение:

Пусть x - общее количество деревьев в саду.

Яблони составляют \(\frac{7}{16}\) всех деревьев, то есть \(\frac{7}{16}x\).

Оставшаяся часть деревьев после яблонь составляет:

\[1 - \frac{7}{16} = \frac{16}{16} - \frac{7}{16} = \frac{9}{16}\]

Груши составляют \(\frac{8}{15}\) от оставшейся части, то есть \(\frac{8}{15} \cdot \frac{9}{16}x\).

\[\frac{8}{15} \cdot \frac{9}{16}x = \frac{8 \cdot 9}{15 \cdot 16}x = \frac{72}{240}x = \frac{3}{10}x\]

Сливы составляют 42 дерева.

Вместе яблони, груши и сливы составляют все деревья в саду. Составим уравнение:

\[\frac{7}{16}x + \frac{3}{10}x + 42 = x\]

Приведем дроби к общему знаменателю (80):

\[\frac{35}{80}x + \frac{24}{80}x + 42 = x\]

\[\frac{59}{80}x + 42 = x\]

Перенесем \(\frac{59}{80}x\) в правую часть уравнения:

\[42 = x - \frac{59}{80}x\]

\[42 = \frac{80}{80}x - \frac{59}{80}x\]

\[42 = \frac{21}{80}x\]

Умножим обе части уравнения на \(\frac{80}{21}\), чтобы найти x:

\[x = 42 \cdot \frac{80}{21}\]

\[x = \frac{42 \cdot 80}{21}\]

\[x = 2 \cdot 80\]

\[x = 160\]

Проверим наше решение. Груши составляют \(\frac{8}{15}\) от оставшейся части, то есть \(\frac{8}{15} \cdot \frac{9}{16}\) от 160:

\[\frac{8}{15} \cdot \frac{9}{16} \cdot 160 = \frac{8}{15} \cdot 90 = \frac{720}{15} = 48\]

Тогда все деревья в саду:

\[48 + 70 + 42 = 160 \implies 160
e 120\]

Сократили дробь неверно:

\[x = 42 \cdot \frac{80}{21}\]

\[x = 2 \cdot 40\]

\[x = 120\]