21. Баржа прошла по течению реки 32 км и, повернув обратно, прошла ещё 24 км, затратив на весь путь 4 часа. Найдите собственную скорость баржи, если скорость течения реки равна 5 км/ч.

Решение: Пусть $$v$$ - собственная скорость баржи (км/ч). Тогда скорость баржи по течению равна $$v + 5$$ км/ч, а против течения - $$v - 5$$ км/ч. Время, затраченное на путь по течению, равно $$\frac{32}{v + 5}$$ часов, а время, затраченное на путь против течения, равно $$\frac{24}{v - 5}$$ часов. Общее время равно 4 часа, поэтому получаем уравнение: $$\frac{32}{v + 5} + \frac{24}{v - 5} = 4$$ Умножим обе части уравнения на $$(v + 5)(v - 5)$$: $$32(v - 5) + 24(v + 5) = 4(v^2 - 25)$$ $$32v - 160 + 24v + 120 = 4v^2 - 100$$ $$56v - 40 = 4v^2 - 100$$ $$4v^2 - 56v - 60 = 0$$ Разделим обе части на 4: $$v^2 - 14v - 15 = 0$$ Решим квадратное уравнение: $$D = (-14)^2 - 4(1)(-15) = 196 + 60 = 256$$ $$v_1 = \frac{14 + \sqrt{256}}{2} = \frac{14 + 16}{2} = \frac{30}{2} = 15$$ $$v_2 = \frac{14 - \sqrt{256}}{2} = \frac{14 - 16}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$ Так как скорость не может быть отрицательной, то $$v = 15$$ км/ч. Ответ: 15 км/ч