22. Постройте график функции $$y = 4|x + 6| - x^2 - 11x - 30$$. Определите, при каких значениях $$m$$ прямая $$y = m$$ имеет с графиком ровно три общие точки.

Решение: Рассмотрим функцию $$y = 4|x + 6| - x^2 - 11x - 30$$. 1. Если $$x \ge -6$$, то $$|x + 6| = x + 6$$, и функция принимает вид: $$y = 4(x + 6) - x^2 - 11x - 30 = 4x + 24 - x^2 - 11x - 30 = -x^2 - 7x - 6$$ $$y = -(x^2 + 7x + 6) = -(x + 1)(x + 6)$$ 2. Если $$x < -6$$, то $$|x + 6| = -(x + 6)$$, и функция принимает вид: $$y = -4(x + 6) - x^2 - 11x - 30 = -4x - 24 - x^2 - 11x - 30 = -x^2 - 15x - 54$$ $$y = -(x^2 + 15x + 54) = -(x + 6)(x + 9)$$ Теперь построим график этой функции. Для этого найдем вершины парабол: 1. Для $$x \ge -6$$: $$x_в = -\frac{7}{2} = -3.5$$, $$y_в = -(-3.5 + 1)(-3.5 + 6) = -(-2.5)(2.5) = 6.25$$ 2. Для $$x < -6$$: $$x_в = -\frac{15}{2} = -7.5$$, $$y_в = -(-7.5 + 6)(-7.5 + 9) = -(-1.5)(1.5) = 2.25$$ График будет состоять из двух частей парабол, соединенных в точке $$x = -6$$. Прямая $$y = m$$ имеет три общие точки с графиком, когда она проходит через вершину параболы на участке $$x \ge -6$$ или когда она касается точки соединения двух частей параболы (в данном случае, когда $$x=-6$$). В точке $$x = -6$$ значение $$y = 0$$, так как и $$-(x+1)(x+6)$$ и $$-(x+6)(x+9)$$ обращаются в 0. Таким образом, $$m = 6.25$$ или $$m = 0$$. Ответ: m = 0, m = 6.25