Баржа прошла по течению реки 64 км и, повернув обратно, затратив на весь путь 8 часов. Найдите собственную скорость баржи, если скорость течения реки равна 5 км/ч.

Пусть \( v \) — собственная скорость баржи (км/ч).

Скорость баржи по течению: \( v + 5 \) (км/ч).
Скорость баржи против течения: \( v - 5 \) (км/ч).

Путь по течению: 64 км.
Время по течению: \( t_1 = \frac{64}{v + 5} \) (часов).
Путь против течения: 64 км.
Время против течения: \( t_2 = \frac{64}{v - 5} \) (часов).

Общее время: 8 часов.

Сумма времен по течению и против течения равна общему времени:
\( \frac{64}{v + 5} + \frac{64}{v - 5} = 8 \)

Разделим обе части уравнения на 8:
\( \frac{8}{v + 5} + \frac{8}{v - 5} = 1 \)

Приведем к общему знаменателю:
\( \frac{8(v - 5) + 8(v + 5)}{(v + 5)(v - 5)} = 1 \)

\( \frac{8v - 40 + 8v + 40}{v^2 - 25} = 1 \)

\( \frac{16v}{v^2 - 25} = 1 \)

\( 16v = v^2 - 25 \)

\( v^2 - 16v - 25 = 0 \)

Решим квадратное уравнение, используя формулу дискриминанта:
\( D = b^2 - 4ac = (-16)^2 - 4(1)(-25) = 256 + 100 = 356 \)
\( v_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{16 \pm \sqrt{356}}{2} = \frac{16 \pm 2\sqrt{89}}{2} = 8 \pm \sqrt{89} \)

Так как скорость не может быть отрицательной, берем положительное значение:
\( v = 8 + \sqrt{89} \approx 8 + 9.43 \approx 17.43 \)

Скорость баржи должна быть больше скорости течения, значит \( v=8+\sqrt{89} \)

**Ответ:** Приблизительно 17.43 км/ч