6 B C 12 15° 10 A 45° D

6. Рассмотрим четырехугольник ABCD. Данный четырехугольник является параллелограммом. Площадь параллелограмма равна произведению высоты на основание.

1. Рассмотрим треугольник ABK, где BK – высота параллелограмма, опущенная из вершины B на основание AD. $$\angle BAK = 45^{\circ}$$. $$AB = 10$$. Тогда $$\sin(\angle BAK) = \frac{BK}{AB}$$. Отсюда, $$BK = AB \cdot sin(\angle BAK) = 10 \cdot sin(45^{\circ}) = 10 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2}$$

2. Рассмотрим треугольник ACL, где AL – высота параллелограмма, опущенная из вершины A на основание BC. $$\angle ACL = 15^{\circ}$$. $$BC = 12$$. Тогда $$\sin(\angle ACL) = \frac{AL}{AC}$$. Отсюда, $$AL = AC \cdot sin(\angle ACL) = 12 \cdot sin(15^{\circ})$$

3. $$S_{ABCD} = BK \cdot AD = 5\sqrt{2} \cdot AD = AL \cdot BC = 12 \cdot sin(15^{\circ}) \cdot BC$$

4. Из условия задачи не указана длина основания AD, поэтому будем считать, что BC = AD = 12. Тогда площадь параллелограмма равна: $$S_{ABCD} = BK \cdot AD = 5\sqrt{2} \cdot 12 = 60\sqrt{2}$$

Ответ: $$60\sqrt{2}$$