B-III Логарифмическая функция, ее свойства и график Найдите область определения функции у = 1g(3 – 2x-x²). Найдите наибольшее и наименьшее значения функции y = log5x на отрезке 1 : 125 25 1. 2.

Решение:

1. Найдем область определения функции $$y = lg(3 - 2x - x^2)$$.
   Логарифмическая функция определена для положительных значений аргумента, поэтому необходимо решить неравенство:
   $$3 - 2x - x^2 > 0$$
   $$x^2 + 2x - 3 < 0$$
   Разложим квадратный трехчлен на множители:
   $$(x + 3)(x - 1) < 0$$
   Решением этого неравенства является интервал $$(-3; 1)$$.
2. Найдем наибольшее и наименьшее значения функции $$y = log_5x$$ на отрезке $$\left[\frac{1}{125}; 25\right]$$.
   Функция $$y = log_5x$$ является возрастающей, так как основание логарифма больше 1. Следовательно, наименьшее значение функции достигается в левой границе отрезка, а наибольшее - в правой.
   Наименьшее значение:
   $$y_{min} = log_5\left(\frac{1}{125}\right) = log_5(5^{-3}) = -3$$
   Наибольшее значение:
   $$y_{max} = log_5(25) = log_5(5^2) = 2$$

Ответ:

1. Область определения: $$(-3; 1)$$.
2. Наименьшее значение: -3, наибольшее значение: 2.