Билет № 17 1. Описанная окружность. Центр окружности, описанной около треугольника. 2. Свойства параллелограмма (формулировка и доказательство). 3. Найдите площадь трапеции с основаниями AD и ВС, если AD=12см, ВС=6см, CD=5см, АС=13см.

**Билет № 17** **1. Описанная окружность. Центр окружности, описанной около треугольника.** * **Описанная окружность** - это окружность, проходящая через все вершины треугольника. * **Центр описанной окружности** - это точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Центр описанной окружности равноудален от всех вершин треугольника. Для остроугольного треугольника центр находится внутри треугольника, для тупоугольного - вне треугольника, для прямоугольного - на середине гипотенузы. **2. Свойства параллелограмма (формулировка и доказательство).** * **Определение:** Параллелограмм - это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. * **Свойства:** 1. Противоположные стороны параллелограмма равны. 2. Противоположные углы параллелограмма равны. 3. Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам. * **Доказательство:** * Рассмотрим параллелограмм ABCD. Проведём диагональ AC. Она разбивает параллелограмм на два треугольника: ABC и CDA. * Угол BAC = углу DCA (как накрест лежащие углы при параллельных прямых AB и CD и секущей AC). * Угол BCA = углу DAC (как накрест лежащие углы при параллельных прямых BC и AD и секущей AC). * Сторона AC - общая. * Следовательно, треугольники ABC и CDA равны по стороне и двум прилежащим к ней углам (второй признак равенства треугольников). * Из равенства треугольников следует, что AB = CD, BC = AD, угол ABC = углу CDA. * Аналогично можно доказать, что угол BAD = углу BCD. * Чтобы доказать, что диагонали делятся точкой пересечения пополам, рассмотрим точку O - точку пересечения диагоналей AC и BD. Треугольники AOB и COD подобны (углы при вершине O равны как вертикальные, а углы BAO и DCO равны как накрест лежащие). Из подобия следует, что AO/OC = BO/OD. Так как AB = CD, то AO = OC и BO = OD. **3. Найдите площадь трапеции с основаниями AD и ВС, если AD=12см, ВС=6см, CD=5см, АС=13см.** * Для нахождения площади трапеции необходимо знать её высоту. Поскольку нам известны стороны трапеции, мы можем воспользоваться дополнительными построениями и теоремой Пифагора. * Проведем высоту CH к основанию AD. Пусть AH = x. Тогда HD = AD - AH = 12 - x. * Рассмотрим треугольник ACH: \(AC^2 = AH^2 + CH^2\), отсюда \(13^2 = x^2 + CH^2\), и \(CH^2 = 169 - x^2\). * Проведем высоту DK к основанию BC. Тогда AK = AD - BC - x = 12 - 6 = 6. * Рассмотрим треугольник CDK: \(CD^2 = KD^2 + CK^2\), отсюда \(5^2 = CK^2 + KD^2\), \(KD^2 = 25 - CK^2\). * Рассмотрим прямоугольный треугольник CDH. DH = AD - AH = 12 - x, то \(CD^2 = CH^2 + DH^2\), \(CH^2 = 5^2 - (12-x)^2\), \(CH^2 = 25 - (144 - 24x + x^2)\), \(CH^2 = 25 - 144 + 24x - x^2\), \(CH^2 = -119 + 24x - x^2\). * Приравняем выражения для CH^2, получим: \(169 - x^2 = -119 + 24x - x^2\) * \(169 + 119 = 24x\) * \(288 = 24x\) * \(x = 12\). Значит, высота \(CH = \sqrt{169-144} = \sqrt{25} = 5\). * Площадь трапеции: \(S = \frac{AD + BC}{2} \cdot CH = \frac{12 + 6}{2} \cdot 5 = \frac{18}{2} \cdot 5 = 9 \cdot 5 = 45\) см². **Ответ:** Площадь трапеции равна 45 см².