Билет № 18 1. Вписанная окружность. Центр окружности, вписанной в треугольник. 2. Теорема Пифагора (формулировка и доказательство). Пифагоровы треугольники. 3. Найдите площадь параллелограмма, если AD =12см, ВD=5см, АВ=13см.

**Билет № 18** **1. Вписанная окружность. Центр окружности, вписанной в треугольник.** * **Вписанная окружность** - это окружность, касающаяся всех сторон треугольника. * **Центр вписанной окружности** - это точка пересечения биссектрис углов треугольника. Центр вписанной окружности равноудалён от всех сторон треугольника. **2. Теорема Пифагора (формулировка и доказательство). Пифагоровы треугольники.** * **Формулировка:** В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. \(a^2 + b^2 = c^2\), где a и b - катеты, c - гипотенуза. * **Доказательство:** * Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Докажем, что \(AB^2 = AC^2 + BC^2\). * Достроим треугольник ABC до квадрата со стороной (a+b). Площадь этого квадрата равна \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\). * Внутри этого квадрата находится квадрат со стороной c (гипотенуза исходного треугольника) и четыре равных прямоугольных треугольника, каждый из которых имеет площадь \(\frac{1}{2}ab\). * Таким образом, площадь большого квадрата также можно выразить как \(c^2 + 4 \cdot \frac{1}{2}ab = c^2 + 2ab\). * Приравниваем оба выражения для площади большого квадрата: \(a^2 + 2ab + b^2 = c^2 + 2ab\). * Сокращаем 2ab с обеих сторон: \(a^2 + b^2 = c^2\). * **Пифагоровы треугольники** - это прямоугольные треугольники, у которых длины всех сторон выражаются целыми числами. Примеры: (3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17), (7, 24, 25). **3. Найдите площадь параллелограмма, если AD =12см, ВD=5см, АВ=13см.** * Рассмотрим треугольник ABD. Заметим, что \(AD^2 + BD^2 = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169\) и \(AB^2 = 13^2 = 169\). * Так как \(AD^2 + BD^2 = AB^2\), то треугольник ABD - прямоугольный с прямым углом D (по теореме, обратной теореме Пифагора). * Площадь параллелограмма можно найти как произведение основания на высоту. В данном случае, AD - основание, а BD - высота, проведённая к этому основанию. * Площадь параллелограмма ABCD равна \(AD \cdot BD = 12 \cdot 5 = 60\) см². **Ответ:** Площадь параллелограмма равна 60 см².