Билет № 16. 1.Значения синуса, косинуса и тангенса для углов 30°, 45°, 60°. 2. Теорема, обратная теореме Пифагора (формулировка и доказательство). 3. Катеты прямоугольного треугольника равны 6 и 8см., гипотенуза 10 см. Вычислите высоту, проведённую к гипотенузе.

**Билет № 16** **1. Значения синуса, косинуса и тангенса для углов 30°, 45°, 60°:** * sin(30°) = 1/2 * cos(30°) = \(\sqrt{3}/2\) * tan(30°) = \(\sqrt{3}/3\) * sin(45°) = \(\sqrt{2}/2\) * cos(45°) = \(\sqrt{2}/2\) * tan(45°) = 1 * sin(60°) = \(\sqrt{3}/2\) * cos(60°) = 1/2 * tan(60°) = \(\sqrt{3}\) **2. Теорема, обратная теореме Пифагора (формулировка и доказательство):** * **Формулировка:** Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то этот треугольник является прямоугольным. * **Доказательство:** * Дано: треугольник ABC, в котором \(a^2 + b^2 = c^2\). * Доказать: угол C - прямой. * Доказательство: * Рассмотрим прямоугольный треугольник \(A'B'C'\) с катетами \(a\) и \(b\). * По теореме Пифагора \(a^2 + b^2 = c'^2\). * Так как \(a^2 + b^2 = c^2\), то \(c^2 = c'^2\), следовательно, \(c = c'\). * Таким образом, треугольники ABC и \(A'B'C'\) равны по трем сторонам (a, b, c). * Следовательно, угол C равен углу \(C'\), который является прямым. Значит, угол C - прямой. **3. Катеты прямоугольного треугольника равны 6 и 8 см., гипотенуза 10 см. Вычислите высоту, проведённую к гипотенузе.** * Площадь прямоугольного треугольника можно найти двумя способами: * Как половину произведения катетов: \(S = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24\) см². * Как половину произведения гипотенузы на высоту, проведённую к ней: \(S = \frac{1}{2}ch\), где h - искомая высота. * Приравниваем оба выражения для площади: * \(\frac{1}{2} \cdot 10 \cdot h = 24\) * \(5h = 24\) * \(h = \frac{24}{5} = 4.8\) см **Ответ:** Высота, проведённая к гипотенузе, равна 4.8 см.