Билет 12. 1. Что такое секущая? Назовите пары углов, которые образуются при пересечении двух прямых секущей. 2. Доказать свойство катета прямоугольного треугольника, лежащего против угла в 30°. 3. Найдите ∠CBA.

Билет 12. 1. Секущая - это прямая, пересекающая две другие прямые. При пересечении двух прямых секущей образуются следующие пары углов: * Соответственные углы: (например, $$\angle 1$$ и $$\angle 5$$) * Накрест лежащие углы: (например, $$\angle 3$$ и $$\angle 5$$, $$\angle 4$$ и $$\angle 6$$) * Односторонние углы: (например, $$\angle 3$$ и $$\angle 6$$, $$\angle 4$$ и $$\angle 5$$) 2. Свойство катета, лежащего против угла в 30°: В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. Доказательство: Пусть дан прямоугольный треугольник $$\triangle ABC$$ с углом $$\angle A = 30°$$ и $$\angle C = 90°$$. Докажем, что катет $$BC$$ равен половине гипотенузы $$AB$$. Рассмотрим треугольник $$\triangle ABC$$. Приложим к нему равный ему треугольник $$\triangle ABD$$ так, чтобы катет $$BC$$ был общей стороной. Тогда $$\triangle ABD = \triangle ABC$$ (по двум катетам). Получим треугольник $$\triangle ABD$$, в котором $$\angle A = \angle DAB = 30°$$. Значит, $$\angle ABD = \angle ABC = 60°$$. Тогда $$\triangle ABD$$ – равносторонний (так как все углы равны 60°), и $$AB = BD = AD$$. Поскольку $$BC$$ – высота и медиана в равностороннем треугольнике $$\triangle ABD$$, то $$BC = \frac{1}{2}BD = \frac{1}{2}AB$$. Таким образом, катет $$BC$$, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы $$AB$$. 3. В данном треугольнике $$\angle ACB = 30°$$. Сумма углов треугольника равна $$180°$$. Предположим, что данный треугольник равнобедренный с $$AC = BC$$. Тогда $$\angle CAB = \angle CBA = (180° - 30°)/2 = 150°/2 = 75°.