Билет № 13 1) Дайте определение окружности, описанной около многоугольника, многоугольника, вписанного в окружность. Сформулируйте свойство четырехугольника, вписанного в окружность. 2) Сформулируйте и докажите свойство биссектрисы угла. 3) В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 10, а угол, лежащий напротив него равен 45°. Найдите площадь треугольника. 4) Биссектрисы углов А и В параллелограмма ABCD пересекаются в точке К. Найдите площадь параллелограмма, если AD=19, а расстояние от точки К до стороны АВ равно 7.

Билет № 13

1. Окружность, описанная около многоугольника, — это окружность, проходящая через все вершины многоугольника. Многоугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат на этой окружности.

   Окружность, вписанная в многоугольник, — это окружность, касающаяся всех сторон многоугольника. Многоугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются этой окружности.

   Свойство четырехугольника, вписанного в окружность: суммы противоположных углов вписанного четырехугольника равны 180 градусам.

2. Свойство биссектрисы угла: каждая точка биссектрисы угла равноудалена от сторон этого угла.

   Доказательство:

   Показать доказательство

   1. Пусть дана биссектриса OL угла AOB. Точка C лежит на биссектрисе OL. Проведём перпендикуляры CA и CB на стороны OA и OB соответственно.
   2. Рассмотрим прямоугольные треугольники OAC и OBC. OC — общая гипотенуза, ∠AOC = ∠BOC, так как OL — биссектриса угла AOB. Следовательно, треугольники OAC и OBC равны по гипотенузе и острому углу.
   3. Из равенства треугольников OAC и OBC следует, что CA = CB. Следовательно, точка C равноудалена от сторон угла AOB.

3. В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 10, а угол, лежащий напротив него, равен 45°. Нужно найти площадь треугольника.

   Так как один из углов равен 45°, то второй угол также равен 45° (90° - 45° = 45°). Следовательно, треугольник равнобедренный, и второй катет также равен 10.

   Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов: S = (1/2) * a * b = (1/2) * 10 * 10 = 50.

   Ответ: 50

4. Биссектрисы углов A и B параллелограмма ABCD пересекаются в точке K. Нужно найти площадь параллелограмма, если AD = 19, а расстояние от точки K до стороны AB равно 7.

   Так как биссектрисы углов A и B пересекаются в точке K, то сумма углов A и B равна 180°. Следовательно, углы BAK и ABK равны 90°.

   Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту: S = a * h.

   Основание AD = 19, высота равна расстоянию от точки K до стороны AB, то есть 7.

   S = 19 * 7 = 133.

   Ответ: 133