БИЛЕТ № 3 1. Измерение и сравнение отрезков, середина отрезка. Длина отрезка. Сравнение отрезков. 2. Докажите, что в равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой (свойство биссектрисы равнобедренного треугольника). 3. В равностороннем треугольнике ABC медианы BK и AM пересекаются в точке O. Найдите ∠AOK

Рассмотрим равносторонний треугольник ABC, в котором медианы BK и AM пересекаются в точке O.

В равностороннем треугольнике все углы равны 60 градусам.

$$∠BAC = ∠ABC = ∠BCA = 60°$$

Медианы в равностороннем треугольнике также являются биссектрисами и высотами. Следовательно, AM и BK - биссектрисы углов ∠BAC и ∠ABC соответственно.

Тогда, $$∠BAO = ∠CAO = \frac{1}{2} ∠BAC = \frac{1}{2} cdot 60° = 30°$$

$$∠ABO = ∠CBO = \frac{1}{2} ∠ABC = \frac{1}{2} cdot 60° = 30°$$

Рассмотрим треугольник ABO. Сумма углов в треугольнике равна 180°.

$$∠AOB = 180° - ∠BAO - ∠ABO = 180° - 30° - 30° = 120°$$

∠AOK - смежный с ∠AOB, поэтому:

$$∠AOK = 180° - ∠AOB = 180° - 120° = 60°$$

Ответ: ∠AOK = 60°