БИЛЕТ № 4 1. Измерение и сравнение углов. Свойства измерения углов. 2. Докажите, что если соответственные углы при пересечении двух прямых секущей равны, то прямые параллельны (2 признак параллельности прямых). 3. В равностороннем треугольнике ABC биссектрисы CP и AM пересекаются в точке P. Найдите ∠MPN

Рассмотрим равносторонний треугольник ABC, в котором биссектрисы CP и AM пересекаются в точке P.

В равностороннем треугольнике все углы равны 60 градусам.

$$∠BAC = ∠ABC = ∠BCA = 60°$$

Так как CP и AM - биссектрисы, они делят углы пополам.

$$∠BCP = \frac{1}{2} ∠BCA = \frac{1}{2} cdot 60° = 30°$$

$$∠MAC = \frac{1}{2} ∠BAC = \frac{1}{2} cdot 60° = 30°$$

Рассмотрим треугольник APC.

$$∠APC = 180° - ∠PAC - ∠ACP$$

$$∠APC = 180° - 30° - 30° = 120°$$

∠MPN и ∠APC - вертикальные, поэтому они равны.

$$∠MPN = ∠APC = 120°$$

Ответ: ∠MPN = 120°