Билет №9. 1. Объясните, как построить треугольник по двум сторонам и углу между ними с помощью циркуля и линейки. 2. Сформулировать и доказать теорему о неравенстве треугольника.

1. Построение треугольника по двум сторонам и углу между ними с помощью циркуля и линейки: a) Сначала строим прямую линию с помощью линейки. На этой линии выбираем точку, которую обозначим как вершину угла (например, точка A). b) С помощью линейки отмеряем на прямой от точки A отрезок, равный длине одной из заданных сторон (например, сторона AB). c) В точке A строим угол, равный заданному углу. Для этого можно использовать транспортир или построить угол с помощью циркуля и линейки (если требуется точное построение). d) На луче, образующем угол, отмеряем от точки A отрезок, равный длине второй заданной стороны (например, сторона AC). e) Соединяем точки B и C, чтобы завершить построение треугольника ABC. 2. Теорема о неравенстве треугольника: Теорема гласит, что каждая сторона треугольника меньше суммы двух других его сторон. То есть, для треугольника ABC должны выполняться следующие неравенства: * (AB < AC + BC) * (AC < AB + BC) * (BC < AB + AC) Доказательство: Рассмотрим треугольник ABC. Докажем, например, что (AB < AC + BC). Отложим на продолжении стороны AC отрезок CD, равный стороне BC. Тогда треугольник BCD – равнобедренный, так как (BC = CD). Следовательно, углы при основании равнобедренного треугольника равны, то есть (\angle CBD = \angle CDB). Угол ABD больше угла CBD, поэтому (\angle ABD > \angle CDB). В треугольнике ABD против большего угла лежит большая сторона, следовательно, (AD > AB). Так как (AD = AC + CD) и (CD = BC), то (AC + BC > AB), что и требовалось доказать. Аналогично доказываются и два других неравенства.