Билет №4. 4. Отрезки АВ и CD являются хордами окружности. Найдите длину хорды CD, если АВ = 18, а расстояния от центра окружности до хорд АВ и CD равны соответственно 12 и 9.

Пусть O - центр окружности, OM и ON - расстояния от центра до хорд AB и CD соответственно. Тогда OM = 12 и ON = 9. Пусть радиус окружности равен R.

Хорда AB = 18. Тогда AM = MB = AB / 2 = 9. Рассмотрим прямоугольный треугольник OMA. По теореме Пифагора:

$$R^2 = OM^2 + AM^2 = 12^2 + 9^2 = 144 + 81 = 225$$

Значит, R = √225 = 15.

Теперь рассмотрим хорду CD. Пусть CD = 2x. Тогда CN = ND = x. Рассмотрим прямоугольный треугольник ONC. По теореме Пифагора:

$$R^2 = ON^2 + CN^2$$

$$15^2 = 9^2 + x^2$$

$$225 = 81 + x^2$$

$$x^2 = 225 - 81 = 144$$

Значит, x = √144 = 12.

Так как CD = 2x, то CD = 2 * 12 = 24.

Ответ: Длина хорды CD равна 24.