Билет № 5. 1. Свойства площадей. 2. Теорема о средней линии треугольника (формулировка и доказательство). 3. Точка касания окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, делит одну из боковых сторон на отрезки, равные 3 см и 4 см. считая от основания. Найдите периметр треугольника.

Билет №5

1. Свойства площадей:

   • Равные многоугольники имеют равные площади.
   • Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников.
   • Площадь квадрата равна квадрату его стороны.

2. Теорема о средней линии треугольника: Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.

   Доказательство:

   Пусть дан треугольник ABC, MN - средняя линия. Докажем, что MN || AC и MN = 1/2 AC.

   Проведем прямую через точку B, параллельную AC. Продолжим MN до пересечения с этой прямой в точке P.

   Треугольники MBN и PBN равны по стороне (BN - общая), углу (∠MBN = ∠PBN как вертикальные) и углу (∠BMN = ∠BPN как накрест лежащие).

   Следовательно, MB = BP.

   AM = MB (по условию), следовательно, AM = BP.

   Кроме того, ∠AMN = ∠BPN как накрест лежащие. Следовательно, AM || BP.

   Таким образом, AMCP - параллелограмм. Значит, MP || AC, MP = AC.

   MN = 1/2 MP, следовательно, MN = 1/2 AC. MN || AC.

3. Точка касания окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, делит одну из боковых сторон на отрезки, равные 3 см и 4 см, считая от основания. Найти периметр треугольника.

   Решение:

   Пусть ABC - равнобедренный треугольник, AB = BC. Окружность касается стороны BC в точке K, BK = 3 см, KC = 4 см. Тогда BC = 3 + 4 = 7 см. AB = BC = 7 см.

   Пусть окружность касается стороны AC в точке M. Тогда AM = AK = x. AC = AM + MC = x + MC.

   Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны. Тогда AK = BK = 3 см, KC = MC = 4 см.

   AC = 3 + 4 = 7 см.

   Периметр треугольника равен P = AB + BC + AC = 7 + 7 + 7 = 21 см.

Ответ: 21 см