Билет №6. 1. Определение окружности, радиуса, диаметра, хорды. 2. Теорема о свойстве биссектрисы равнобедренного треугольника (доказательство). 3. В треугольнике МКN угол М равен 38°, внешний угол МКР равен 68°. Найдите угол N. 4. В треугольнике АВС ∠A = 100°. Биссектрисы углов СС₁ и ВВ₁ пересекаются в точке D. Найдите угол BCD.

1. Окружность — это геометрическое место точек, равноудалённых от заданной точки (центра окружности). Радиус — это отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой на окружности. Диаметр — это хорда, проходящая через центр окружности. Хорда — это отрезок, соединяющий две точки на окружности.

2. Теорема о свойстве биссектрисы равнобедренного треугольника: В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая из вершины угла между боковыми сторонами, является медианой и высотой.

Доказательство:

Дано: Треугольник ABC - равнобедренный, AB = BC, BD - биссектриса.

Доказать: BD - медиана и высота.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники ABD и CBD.

AB = BC (по условию),

∠ABD = ∠CBD (так как BD - биссектриса),

BD - общая сторона.

Следовательно, треугольники ABD и CBD равны по двум сторонам и углу между ними (по первому признаку равенства треугольников).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон и углов: AD = CD и ∠ADB = ∠CDB.

Так как AD = CD, то BD - медиана треугольника ABC.

Так как ∠ADB = ∠CDB и они смежные, то ∠ADB = ∠CDB = 90°.

Следовательно, BD - высота треугольника ABC.

Что и требовалось доказать.

3. Дано: ∆MKN, ∠M = 38°, ∠MKP = 68°.

Найти: ∠N.

Решение:

∠MKP - внешний угол ∆MKN, следовательно, ∠MKP = ∠M + ∠N (по свойству внешнего угла треугольника).

68° = 38° + ∠N

∠N = 68° - 38° = 30°

Ответ: ∠N = 30°.

4. Дано: ∆ABC, ∠A = 100°, CC₁ и BB₁ - биссектрисы, CC₁ ∩ BB₁ = D.

Найти: ∠BCD.

Решение:

∠B + ∠C = 180° - ∠A = 180° - 100° = 80° (по теореме о сумме углов треугольника).

∠B : 2 + ∠C : 2 = 80° : 2 = 40° (так как CC₁ и BB₁ - биссектрисы).

∠DBC + ∠DCB = 40°

∠BDC = 180° - (∠DBC + ∠DCB) = 180° - 40° = 140° (по теореме о сумме углов треугольника).

∠BCD = ∠C : 2

∠B + ∠C = 80°

Пусть ∠B = x, тогда ∠C = 80° - x

∠BCD = (80° - x) : 2 = 40° - x : 2

Ответ: Недостаточно данных для однозначного определения угла BCD.