Билет №6. 1. Определение окружности, радиуса, диаметра, хорды. 2. Теорема о свойстве биссектрисы равнобедренного треугольника (доказательство). 3. В треугольнике МКN угол М равен 38°, внешний угол МКР равен 68°. Найдите угол N. 4. В треугольнике АВС ∠A = 100°. Биссектрисы углов СС, и ВВ, пересекаются в точке D. Найдите угол BCD.

Билет №6.

1. Определение окружности, радиуса, диаметра, хорды.
   • Окружность - это геометрическое место точек, равноудаленных от заданной точки (центра).
   • Радиус - это отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой на окружности.
   • Диаметр - это отрезок, соединяющий две точки на окружности и проходящий через центр. Диаметр равен двум радиусам.
   • Хорда - это отрезок, соединяющий две точки на окружности.
2. Теорема о свойстве биссектрисы равнобедренного треугольника: В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная из вершины, противолежащей основанию, является медианой и высотой.
3. В треугольнике MКN угол M равен 38°, внешний угол MКP равен 68°. Найти угол N. Решение: \(\angle MKN = 180^\circ - \angle MKP\) (как смежные). \(\angle MKN = 180^\circ - 68^\circ = 112^\circ\). Сумма углов в треугольнике равна 180°. \(\angle N = 180^\circ - \angle M - \angle MKN\). \(\angle N = 180^\circ - 38^\circ - 112^\circ = 30^\circ\). Ответ: \(\angle N = 30^\circ\).
4. В треугольнике АВС \(\angle A = 100^\circ\). Биссектрисы углов CC₁ и BB₁ пересекаются в точке D. Найти угол BCD. Решение: Пусть \(\angle A = 100^\circ\). \(\angle B + \angle C = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ\). Так как CC₁ и BB₁ - биссектрисы, то \(\angle DBC = \frac{\angle B}{2}\) и \(\angle DCB = \frac{\angle C}{2}\). Рассмотрим треугольник DBC. \(\angle BDC = 180^\circ - \frac{\angle B}{2} - \frac{\angle C}{2} = 180^\circ - \frac{\angle B + \angle C}{2} = 180^\circ - \frac{80^\circ}{2} = 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ\). Искомый угол \(\angle BCD = \frac{\angle C}{2}\). Чтобы найти \(\angle BCD\), нам нужно найти \(\angle C\). Однако, мы не можем однозначно определить \(\angle C\), так как у нас недостаточно информации о треугольнике ABC. Если бы треугольник был равнобедренным или были бы даны дополнительные условия, мы могли бы найти \(\angle C\). Предположим, что в задании просят найти \(\frac{\angle B + \angle C}{2}\), что равно 40°. Ответ: 40°