Билет 9 1. Определение внешнего угла треугольника. Сформулировать свойство внешнего угла треугольника. 2. Доказать, что при пересечении двух параллельных прямых секущей накрест лежащие углы равны. 3. Найдите все неизвестные углы треугольника АВС. B 110° 40° C 4. В треугольнике АВС углы А и С равны 40° и 60° соответственно. Найдите угол между высотой ВН и биссектрисой BD.

Билет 9

1. Определение внешнего угла треугольника:

   Внешний угол треугольника - это угол, смежный с одним из углов треугольника.

   Свойство внешнего угла треугольника:

   Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

2. Доказательство, что при пересечении двух параллельных прямых секущей накрест лежащие углы равны:

   Пусть даны две параллельные прямые a и b, которые пересечены секущей c. Образовались накрест лежащие углы ∠1 и ∠2.

   Предположим, что ∠1 ≠ ∠2. Тогда можно построить прямую b', проходящую через точку пересечения прямой c и прямой a, такую что ∠1' = ∠2 (где ∠1' - соответственный угол для ∠2).

   По признаку параллельных прямых, если соответственные углы равны, то прямые параллельны. Следовательно, b' || a.

   Но через точку пересечения прямой c и прямой a можно провести только одну прямую, параллельную прямой a. Это противоречит аксиоме параллельных прямых.

   Следовательно, предположение о неравенстве ∠1 и ∠2 неверно. Значит, ∠1 = ∠2.

3. Найдем все неизвестные углы треугольника ABC.

   Дано: ∠B = 40°, внешний угол при вершине A равен 110°.

   Внешний угол при вершине A равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним, то есть ∠A (внешний) = ∠B + ∠C.

   110° = 40° + ∠C.

   ∠C = 110° - 40° = 70°.

   Сумма углов треугольника равна 180°, то есть ∠A + ∠B + ∠C = 180°.

   ∠A = 180° - ∠B - ∠C = 180° - 40° - 70° = 70°.

4. В треугольнике ABC углы A и C равны 40° и 60° соответственно. Найдите угол между высотой BH и биссектрисой BD.

   Дано: ∠A = 40°, ∠C = 60°. BH - высота, BD - биссектриса. Нужно найти угол между BH и BD.

   Сумма углов треугольника равна 180°, то есть ∠A + ∠B + ∠C = 180°.

   ∠B = 180° - ∠A - ∠C = 180° - 40° - 60° = 80°.

   Так как BD - биссектриса, то ∠ABD = ∠CBD = ∠B / 2 = 80° / 2 = 40°.

   В прямоугольном треугольнике BHC ∠BHC = 90°.

   ∠HBC = 90° - ∠C = 90° - 60° = 30°.

   ∠DBH = ∠CBD - ∠HBC = 40° - 30° = 10°.

Ответ: 1. Определение и свойство; 2. Доказательство; 3. ∠A = 70°, ∠C = 70°; 4. 10°.