Билет №4 1. Сформулируйте определение тангенса острого угла прямоугольного треугольника. 2. Сформулируйте определение трапеции. Сформулируйте определение средней линии трапеции. Сформулируйте теорему о средней линии трапеции. 3. Решите задачу. Одна из диагоналей прямоугольной трапеции делит эту трапецию на два прямоугольных равнобедренных треугольника. Какова площадь этой трапеции, если ее меньшая б равна 4?

Решение: 1. Обозначим трапецию ABCD, где AB - меньшее основание, CD - большее основание, углы A и D прямые. Диагональ AC делит трапецию на два прямоугольных равнобедренных треугольника, значит, треугольник ACD и ABC - прямоугольные и равнобедренные. 2. Так как треугольник ABC равнобедренный и прямоугольный, то угол BAC = 45 градусов, а угол BCA = 45 градусов. 3. Так как треугольник ACD равнобедренный и прямоугольный, то угол ACD = 45 градусов, а угол CAD = 45 градусов. Значит, AD = CD. 4. Так как угол BAD прямой, то угол BAC + угол CAD = 90 градусов, что соответствует 45 + 45 = 90. 5. Так как угол BCD состоит из углов BCA и ACD, то угол BCD = 45 + 45 = 90 градусов. 6. Из условия известно, что меньшее основание AB = 4. Так как треугольник ABC равнобедренный и прямоугольный, то AB = BC = 4. 7. Рассмотрим треугольник ACD. Так как он равнобедренный и прямоугольный, то AD = CD. Трапеция прямоугольная, следовательно BC перпендикулярно CD и AD перпендикулярно CD. 8. Проведем высоту BH к основанию AD. Тогда AH = AB = 4. HD = CD - AB. В прямоугольном треугольнике BCH угол BCH равен 45 градусам (так как угол BCD = 90 градусов, а угол BCA = 45 градусов), следовательно, угол CBH = 45 градусов. 9. Рассмотрим треугольник ABH: AH=4, BH = BC = 4. Значит AD = AH+HD = AH+BC = 4+4 = 8. 10. Найдем площадь трапеции. Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту. $$S = \frac{AB+CD}{2} * BC = \frac{4+8}{2} * 4 = 6 * 4 = 24$$ Ответ: Площадь трапеции равна 24.