Билет №3, Задача 1: Радиус окружности с центром в точке O равен 82, длина хорды AB равна 36 (см. рис.). Найдите расстояние от хорды AB до параллельной ей касательной k.

Пусть O - центр окружности, R - радиус, AB - хорда, k - касательная, параллельная хорде AB. Расстояние от хорды AB до касательной k равно сумме расстояния от хорды AB до центра окружности O и радиуса R. Опустим перпендикуляр OC на хорду AB. Этот перпендикуляр делит хорду пополам. Значит, AC = CB = AB / 2 = 36 / 2 = 18. Рассмотрим прямоугольный треугольник OCA. По теореме Пифагора, $$OC^2 + AC^2 = OA^2$$, где OA = R = 82. Тогда $$OC^2 = 82^2 - 18^2 = 6724 - 324 = 6400$$. Отсюда $$OC = \sqrt{6400} = 80$$. Расстояние от хорды AB до касательной k равно OC + R = 80 + 82 = 162. **Ответ: 162**