Билет 1: 1. Определение отрезка. Обозначение отрезка. Середина отрезка. Построение середины отрезка с помощью циркуля и линейки (без доказательства). 2. Доказать признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними. 3. В треугольнике АВС проведена биссектриса СЕ. Найдите величину угла ВСЕ, если ∠BAC = 46° и ∠ABC = 78°. 4. Сумма вертикальных углов в 3 раза больше смежного с ними угла. Найдите вертикальные углы.

Решение:

1. Построение отрезка:

   1. Проведите прямую и отметьте на ней две точки A и B. Отрезок AB — это отрезок. 2. Обозначение отрезка: AB или BA.

2. Признак равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними):

   Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

3. Расчет угла в треугольнике АВС:

   Сумма углов треугольника равна 180°.

   В треугольнике АВС: \[ \angle BAC + \angle ABC + \angle BCA = 180° \] \[ 46° + 78° + \angle BCA = 180° \] \[ 124° + \angle BCA = 180° \] \[ \angle BCA = 180° - 124° = 56° \]

   Биссектриса СЕ делит угол ∠BCA пополам:

   \[ \angle BCE = \frac{\angle BCA}{2} = \frac{56°}{2} = 28° \]

4. Расчет вертикальных углов:

   Пусть вертикальные углы равны x. Тогда смежные с ними углы равны 3x.

   Сумма смежных углов равна 180°:

   \[ x + 3x = 180° \] \[ 4x = 180° \] \[ x = \frac{180°}{4} = 45° \]

   Вертикальные углы равны 45°, а смежные с ними углы равны 3 * 45° = 135°.

Ответ:

• 1. Отрезок — часть прямой, ограниченная двумя точками. Обозначается двумя заглавными буквами.
• 2. Признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними.
• 3. ∠BCE = 28°.
• 4. Вертикальные углы равны 45°.