Билет 2. 1. Определение луча. Обозначение луча. Определение биссектрисы угла. Построение биссектрисы угла при помощи циркуля и линейки (без доказательства). 2. Доказать признак равенства треугольников по стороне и двум прилежащим углам. 3. В прямоугольном треугольнике DEF катет DF равен 14 см, ∠E=30°. Найдите гипотенузу DE. 4. Биссектриса внешнего угла при вершине В треугольника АВС параллельна стороне АС. Найдите величину угла САВ, если ∠ABC=32°.

Решение:

1. Определение луча. Луч — это часть прямой, которая имеет одно начало и простирается в одном направлении. Обозначается луч двумя буквами, первая из которых — начало луча, например, луч AB.

Определение биссектрисы угла: Биссектриса угла — это луч, исходящий из вершины угла и делящий этот угол на два равных угла.

Построение биссектрисы угла:

1. Из вершины угла (точка O) провести дугу окружности, пересекающую стороны угла в точках A и B.
2. Из точек A и B провести дуги окружностей равными радиусами, которые пересекутся во внутренней области угла в точке C.
3. Провести луч OC. Этот луч и будет биссектрисой угла AOB.

2. Признак равенства треугольников по стороне и двум прилежащим углам (второй признак равенства треугольников): Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

3. Решение задачи:

В прямоугольном треугольнике DEF катет DF = 14 см, ∠E = 30°.

Нам нужно найти гипотенузу DE.

В прямоугольном треугольнике синус угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.

\( \sin(\angle E) = \frac{DF}{DE} \)

\( \sin(30^\circ) = \frac{14}{DE} \)

Мы знаем, что \( \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} \).

\( \frac{1}{2} = \frac{14}{DE} \)

Отсюда, \( DE = 14 \cdot 2 = 28 \) см.

Ответ: Гипотенуза DE равна 28 см.

4. Решение задачи:

Дан треугольник ABC, где биссектриса внешнего угла при вершине B параллельна стороне AC.

\( \angle ABC = 32^\circ \)

Пусть внешний угол при вершине B равен \( \angle CBK \).

\( \angle CBK = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 32^\circ = 148^\circ \)

Пусть BD — биссектриса внешнего угла CBK. Тогда \( \angle CBD = \angle DBK = \frac{148^\circ}{2} = 74^\circ \).

По условию, BD || AC.

Так как BD || AC, то накрест лежащие углы равны:

\( \angle BAC = \angle DBK = 74^\circ \) (как накрест лежащие углы при параллельных прямых BD и AC и секущей AB).

Ответ: Величина угла САВ равна 74°.