Билет №1. 1. Сформулируйте определение выпуклого многоугольника (периметр, диагональ). Сформулируйте теорему о сумме углов выпуклого многоугольника. 2. Признаки подобия треугольников. Доказать один признак на выбор обучающегося. 3. В окружность вписан треугольник АВС так, что АВ - диаметр окружности. Найдите углы треугольника, если: дуга ВС=134°;

Билет №1.

1. Выпуклый многоугольник — это многоугольник, который лежит по одну сторону от любой прямой, проходящей через две его соседние вершины.
2. Периметр — это сумма длин всех сторон многоугольника.
3. Диагональ — это отрезок, соединяющий две вершины многоугольника, не являющиеся соседними.
4. Теорема о сумме углов выпуклого многоугольника: Сумма внутренних углов выпуклого n-угольника равна 180° * (n-2).
5. Признаки подобия треугольников:
   • По двум углам: Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
   • По двум сторонам и углу между ними: Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы между этими сторонами равны, то такие треугольники подобны.
   • По трём сторонам: Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
   Доказательство признака по двум углам: Пусть у нас есть два треугольника ABC и A1B1C1. Если ∠A = ∠A1 и ∠B = ∠B1, то ∠C = 180° - ∠A - ∠B и ∠C1 = 180° - ∠A1 - ∠B1. Так как ∠A = ∠A1 и ∠B = ∠B1, то ∠C = ∠C1. Следовательно, все три угла треугольников равны, что означает их подобие.
6. Решение задачи 3: Так как AB — диаметр окружности, то ∠ACB = 90° (угол, опирающийся на диаметр). Дуга BC равна 134°, значит, центральный угол BOC равен 134°. В равнобедренном треугольнике BOC (OB = OC — радиусы) углы при основании равны: ∠OBC = ∠OCB = (180° - 134°) / 2 = 46° / 2 = 23°. Угол BAC равен половине дуги BC, то есть 134° / 2 = 67°. Проверка: ∠A + ∠B + ∠C = 67° + 23° + 90° = 180°.

Ответ: ∠A=67°, ∠B=23°, ∠C=90°.