Билет № 7. 1. Прямоугольник. Свойства прямоугольника. Квадрат. 2. Теорема о вписанном угле (формулировка и доказательство). 3. Диагонали трапеции ABCD с основаниями AB и CD пересекаются в точке О. Найдите: АВ, если ОВ=4 см, OD=10 см, DC=25 см.

Билет № 7.

1. Прямоугольник — это четырехугольник, у которого все углы прямые (90°).
2. Свойства прямоугольника:
   • Противоположные стороны попарно равны и параллельны.
   • Все углы равны 90°.
   • Диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам.
   Квадрат — это частный случай прямоугольника, у которого все стороны равны.
3. Теорема о вписанном угле: Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.
   Доказательство: Случай 1: Центр окружности O лежит на одной из сторон угла. Пусть ∠BAC — вписанный угол, а BC — дуга, на которую он опирается. AO — радиус, а BC — хорда. Так как OA = OB (радиусы), то △OAB — равнобедренный, значит ∠OBA = ∠OAB. Центральный угол ∠BOC = ∠OAB + ∠OBA = 2∠OAB. Отсюда ∠OAB = 1/2 ∠BOC. Случай 2: Центр окружности лежит внутри угла. Проведем через вершину угла A и центр O диаметр AD. Тогда ∠BAC = ∠BAD + ∠CAD. По доказанному в первом случае: ∠BAD = 1/2 ∠BOD, ∠CAD = 1/2 ∠COD. Следовательно, ∠BAC = 1/2 (∠BOD + ∠COD) = 1/2 ∠BOC.
4. Решение задачи 3: В трапеции ABCD с основаниями AB || CD, диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Рассмотрим треугольники AOB и COD. Углы ∠AOB и ∠COD равны как вертикальные. Углы ∠OAB и ∠OCD равны как накрест лежащие при параллельных прямых AB и CD и секущей AC. Углы ∠OBA и ∠ODC равны как накрест лежащие при параллельных прямых AB и CD и секущей BD. Следовательно, △AOB ~ △COD по трем углам. Из подобия следует отношение сторон: AB/CD = OB/OD. Подставляем известные значения: AB / 25 см = 4 см / 10 см. AB = (4 см * 25 см) / 10 см = 100 / 10 = 10 см.

Ответ: AB = 10 см.