Билет №1: 1. Теорема Пифагора (с доказательством). 2. Задача.

Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Обозначим катеты как a и b, а гипотенузу как c. Тогда теорема Пифагора формулируется так:

\[ a^2 + b^2 = c^2 \]

Доказательство (одно из возможных)

1. Построим квадрат со стороной \( a + b \).


2. Внутри этого квадрата, откладывая от каждой вершины отрезки длиной a и b, построим четыре одинаковых прямоугольных треугольника с катетами a и b и гипотенузой c.


3. Площадь большого квадрата равна \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \).


4. Сумма площадей четырех треугольников равна \( 4 \cdot \frac{1}{2} ab = 2ab \).


5. Площадь внутреннего четырехугольника (который является квадратом со стороной c) равна \( c^2 \).


6. Площадь большого квадрата также равна сумме площадей четырех треугольников и внутреннего квадрата: \( (a+b)^2 = 4 \cdot \frac{1}{2} ab + c^2 \)


7. Раскроем скобки и упростим: \( a^2 + 2ab + b^2 = 2ab + c^2 \)


8. Вычитая \( 2ab \) из обеих частей, получаем: \( a^2 + b^2 = c^2 \)

Ответ: Теорема Пифагора доказана.