Билет №10. 1. Подобие треугольников. Определение. Свойство площадей подобных треугольников. 2. Признаки параллельности двух прямых. Доказательство одного из них. 3. Задача.

Билет №10.

1. Подобие треугольников:

   Определение: Два треугольника называются подобными, если их соответствующие углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны.

   Свойство площадей подобных треугольников: Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

   Если \( △ ABC ∽ △ A'B'C' \) с коэффициентом подобия \( k \) (то есть \( \frac{A'B'}{AB} = \frac{B'C'}{BC} = \frac{A'C'}{AC} = k \)), то \( \frac{S_{A'B'C'}}{S_{ABC}} = k^2 \).

2. Признаки параллельности двух прямых:

   1. Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

   2. Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

   3. Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

   Доказательство признака 2:

   Пусть даны прямые \( a \) и \( b \), и секущая \( c \). \( ∠ 1 \) и \( ∠ 2 \) — накрест лежащие углы, \( ∠ 1 = ∠ 2 \). Вертикальный угол к \( ∠ 1 \) равен \( ∠ 1 \). Обозначим его \( ∠ 3 \). Тогда \( ∠ 3 = ∠ 1 \). Так как \( ∠ 1 = ∠ 2 \), то \( ∠ 3 = ∠ 2 \). Углы \( ∠ 3 \) и \( ∠ 2 \) являются односторонними. Если сумма односторонних углов равна \( 180^\circ \), то прямые параллельны. В данном случае \( ∠ 3 + ∠ 2 \) равно сумме односторонних углов. Пусть \( ∠ 1 \) и \( ∠ 4 \) — односторонние углы, \( ∠ 1 + ∠ 4 = 180^\circ \). Угол \( ∠ 2 \) и \( ∠ 4 \) — смежные, \( ∠ 2 + ∠ 4 = 180^\circ \). Так как \( ∠ 1 = ∠ 2 \), то \( ∠ 1 + ∠ 4 = ∠ 2 + ∠ 4 = 180^\circ \). Это верно, если \( ∠ 1 = ∠ 2 \), значит, прямые \( a \) и \( b \) параллельны.

3. Задача: (Требуется условие задачи)