Билет №10: 1. Подобие треугольников. Определение. Свойство площадей подобных треугольников. 2. Признаки параллельности двух прямых. Доказательство одного из них. 3. Задача.

1. Подобие треугольников

Определение: Два треугольника называются подобными, если их соответствующие углы равны и соответствующие стороны пропорциональны.

Свойство площадей подобных треугольников: Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Если ΔABC ~ ΔA'B'C' с коэффициентом подобия k, то \( \frac{S_{ABC}}{S_{A'B'C'}} = k^2 \).

2. Признаки параллельности двух прямых

Признак: Если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то эти прямые параллельны.

Доказательство:

1. Пусть даны две прямые a и b, пересечённые секущей c.


2. Пусть внутренние накрест лежащие углы ∠1 и ∠2 равны (∠1 = ∠2). Докажем, что a || b.


3. Рассмотрим угол ∠3, который является вертикальным к углу ∠1. Тогда ∠1 = ∠3.


4. Так как ∠1 = ∠2 (по условию) и ∠1 = ∠3, то ∠2 = ∠3.


5. Углы ∠2 и ∠3 являются внутренними односторонними углами при пересечении прямых a и b секущей c.


6. Сумма внутренних односторонних углов ∠2 + ∠3 = 180°.


7. По признаку параллельности прямых (сумма односторонних углов равна 180°), прямые a и b параллельны.

Ответ: Признак доказан.