Билет №7: 1. Четырёхугольники. Виды четырёхугольников. Определения. 2. Теорема о площади треугольника (с доказательством). Следствие. 3. Задача.

1. Четырёхугольники

Четырёхугольник — это многоугольник, у которого четыре вершины и четыре стороны.

Виды четырёхугольников:

• Трапеция: Четырёхугольник, у которого ровно две противоположные стороны параллельны (основания).


• Параллелограмм: Четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.
  
  
  • Прямоугольник: Параллелограмм, у которого все углы прямые.
  
  
  • Ромб: Параллелограмм, у которого все стороны равны.
  
  
  • Квадрат: Прямоугольник, у которого все стороны равны.
  
  
  
  


• Произвольный четырёхугольник: Четырёхугольник, не относящийся к вышеперечисленным видам.

2. Теорема о площади треугольника

Теорема: Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту, проведённую к этому основанию.

\[ S = \frac{1}{2} a h_a \]

Доказательство:

1. Пусть дан треугольник ABC. Проведём высоту BH к основанию AC.


2. Достроим треугольник ABC до параллелограмма ABDC, проведя через B прямую, параллельную AC, и через C прямую, параллельную AB.


3. Площадь параллелограмма ABDC равна произведению основания AC на высоту BH: \( S_{ABDC} = AC \cdot BH \).


4. Диагональ BC делит параллелограмм ABDC на два равных треугольника: ΔABC и ΔDCB.


5. Следовательно, площадь треугольника ABC равна половине площади параллелограмма ABDC: \( S_{ABC} = \frac{1}{2} S_{ABDC} \).


6. Подставляя выражение для площади параллелограмма, получаем: \( S_{ABC} = \frac{1}{2} AC \cdot BH \).

Следствие: Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.

Ответ: Теорема доказана.