Билет №12: 1. Определение прямоугольного треугольника. Признаки равенства. 2. Теорема о площади трапеции (с доказательством). 3. Задача.

1. Прямоугольный треугольник

Определение: Прямоугольный треугольник — это треугольник, у которого один из углов является прямым (равен 90°).

Признаки равенства прямоугольных треугольников:

• По двум катетам: Если два катета одного прямоугольного треугольника равны соответственно двум катетам другого, то такие треугольники равны.


• По катету и прилежащему острому углу: Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника равны соответственно катету и прилежащему острому углу другого, то такие треугольники равны.


• По гипотенузе и прилежащему острому углу: Если гипотенуза и прилежащий острый угол одного прямоугольного треугольника равны соответственно гипотенузе и прилежащему острому углу другого, то такие треугольники равны.


• По гипотенузе и катету: Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника равны соответственно гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны.

2. Теорема о площади трапеции

Теорема: Площадь трапеции равна половине произведения суммы её оснований на высоту.

\[ S = \frac{a+b}{2} h \]

Доказательство:

1. Пусть ABCD — трапеция с основаниями BC = b и AD = a, и высотой h.


2. Проведём диагональ AC. Она разбивает трапецию на два треугольника: ΔABC и ΔADC.


3. Площадь ΔABC равна \( \frac{1}{2} BC \cdot h = \frac{1}{2} b h \) (где h — высота, проведённая из B к AD).


4. Площадь ΔADC равна \( \frac{1}{2} AD \cdot h = \frac{1}{2} a h \) (где h — высота, проведённая из C к AD).


5. Площадь трапеции ABCD равна сумме площадей этих треугольников:


6. \( S_{ABCD} = S_{ABC} + S_{ADC} = \frac{1}{2} b h + \frac{1}{2} a h = \frac{1}{2} h (a+b) \).

Ответ: Теорема доказана.