Билет №12. 1. Определение прямоугольного треугольника. Признаки равенства. 2. Теорема о площади трапеции (с доказательством). 3. Задача.

Билет №12.

1. Прямоугольный треугольник:

   Определение: Треугольник, у которого один из углов прямой (90 градусов).

   Признаки равенства треугольников (применимы и к прямоугольным):

   1. По двум сторонам и углу между ними (СУС): Если два катета одного прямоугольного треугольника соответственно равны двум катетам другого, то такие треугольники равны.

   2. По стороне и двум прилежащим к ней углам (УСУ): Если катет и два прилежащих к нему угла одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и двум прилежащим к нему углам другого, то такие треугольники равны.

   3. По трём сторонам (ССС): Если катеты и гипотенуза одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам и гипотенузе другого, то такие треугольники равны.

   Дополнительные признаки для прямоугольных треугольников:

   4. По гипотенузе и острому углу: Если гипотенуза и один острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны.

   5. По катету и острому углу: Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого, то такие треугольники равны.

2. Теорема о площади трапеции:

   Теорема: Площадь трапеции равна половине произведения суммы её оснований на высоту.

   Формула: \( S = \frac{a+b}{2} × h \), где \( a \) и \( b \) — длины оснований, \( h \) — высота.

   Доказательство:

   Пусть дана трапеция ABCD с основаниями AB и CD, и высотой h. Проведём диагональ AC. Трапеция разделится на два треугольника: ABC и ADC. Высота треугольника ABC, проведённая к основанию AB, равна \( h \). Высота треугольника ADC, проведённая к основанию CD, также равна \( h \). Площадь треугольника ABC равна \( S_{ABC} = \frac{1}{2} × AB × h \). Площадь треугольника ADC равна \( S_{ADC} = \frac{1}{2} × CD × h \). Площадь трапеции равна сумме площадей этих треугольников: \( S_{ABCD} = S_{ABC} + S_{ADC} = \frac{1}{2} × AB × h + \frac{1}{2} × CD × h = \frac{1}{2} h (AB + CD) \). Это и есть формула площади трапеции.

3. Задача: (Требуется условие задачи)