Билет № 1. 1. Точка. Прямые. Отрезки. 2. Ломаная. Многоугольники выпуклые. Сумма углов многоугольника. 3. Найдите величины смежных углов, если один из них в 5 раз больше другого. 4. Прямые AB и CD пересекаются в точке O. Угол AOC равен 58°. Найдите угол BOD.

1. Основные понятия

Точка — геометрический объект, не имеющий размеров. Прямая бесконечна и не имеет ни начала, ни конца. Отрезок — часть прямой, ограниченная двумя точками; эти точки называются его концами.

2. Ломаная и многоугольники

Ломаная состоит из последовательно соединённых отрезков. Многоугольник — часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной. Выпуклый многоугольник лежит по одну сторону от каждой прямой, содержащей его сторону. Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника с n сторонами равна \((n-2)\cdot180^\circ\).

3. Пусть меньший угол равен x, тогда больший равен 5x. Смежные углы в сумме дают \(180^\circ\): \(x+5x=180^\circ\), откуда \(x=30^\circ\). Больший угол равен \(5\cdot30^\circ=150^\circ\).

4. Углы AOC и BOD — вертикальные, поэтому они равны.

Ответ: \(\angle BOD=58^\circ\).