Билет № 1. 2) Сформулируйте теоремы о средних линиях треугольника и трапеции. Докажите одну из них по выбору.

Теорема о средней линии треугольника. Средняя линия треугольника — отрезок, соединяющий середины двух его сторон. Она параллельна третьей стороне и равна её половине.

Теорема о средней линии трапеции. Средняя линия трапеции — отрезок, соединяющий середины её боковых сторон. Она параллельна основаниям и равна полусумме их длин.

Доказательство теоремы о средней линии треугольника. Пусть в треугольнике \(ABC\) точки \(M\) и \(N\) — середины сторон \(AB\) и \(AC\). Тогда \(AM/AB=AN/AC=1/2\), а угол \(A\) общий. Следовательно, треугольники \(AMN\) и \(ABC\) подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними. Коэффициент подобия малого треугольника к большому равен \(1/2\). Поэтому \(MN/BC=1/2\), то есть \(MN=BC/2\), а соответствующие углы равны, значит, \(MN\parallel BC\).