Билет 1. Теория: Свойства параллелограмма. Докажите, что в параллелограмме противоположные стороны и углы равны. Задачи: 1. В параллелограмме ABCD угол А равен 60°. Найдите остальные углы параллелограмма. 2. Периметр параллелограмма равен 48 см, одна сторона на 4 см больше другой. Найдите стороны параллелограмма. 3. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке О. АС = 12 см, BD = 8 см. Найдите длины отрезков АО и ВО.

Доказательство:

Проведём диагональ BD. Рассмотрим треугольники ABD и CDB. AB = CD и AD = BC (по условию). BD — общая сторона. Следовательно, \( \triangle ABD = \triangle CDB \) по трём сторонам. Из равенства треугольников следует, что \( \angle ABD = \angle CDB \) и \( \angle ADB = \angle CBD \). Так как эти углы являются накрест лежащими при пересечении прямых AB и CD секущей BD, то AB \( \parallel \) CD. Аналогично, из \( \angle ADB = \angle CBD \) следует, что AD \( \parallel \) BC. Следовательно, ABCD — параллелограмм. Из равенства треугольников также следует, что \( \angle A = \angle C \) и \( \angle B = \angle D \).

Решение задач:

1. В параллелограмме ABCD угол \( \angle A = 60^{\circ} \). Так как противолежащие углы равны, \( \angle C = \angle A = 60^{\circ} \). Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна \( 180^{\circ} \). \( \angle B = \angle D = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ} \).
2. Пусть одна сторона параллелограмма равна \( x \) см, тогда другая сторона равна \( x + 4 \) см. Периметр параллелограмма равен \( 2(x + (x + 4)) \). \( 2(2x + 4) = 48 \). \( 4x + 8 = 48 \). \( 4x = 40 \). \( x = 10 \) см. Тогда другая сторона равна \( 10 + 4 = 14 \) см.
3. Диагонали параллелограмма пересекаются в точке О и делятся пополам. \( AO = OC = \frac{1}{2} AC \) и \( BO = OD = \frac{1}{2} BD \). \( AO = \frac{1}{2} \cdot 12 \text{ см} = 6 \) см. \( BO = \frac{1}{2} \cdot 8 \text{ см} = 4 \) см.

Ответ: 1. \( \angle B = \angle D = 120^{\circ} \). 2. Стороны равны 10 см и 14 см. 3. AO = 6 см, BO = 4 см.