Билет 3. Теория: Определение и свойства прямоугольника. Докажите, что диагонали прямоугольника равны. Задачи: 1. В ромбе ABCD угол А равен 60°, сторона АВ = 10 см. Найдите меньшую диагональ ромба. 2. Найдите площадь трапеции с основаниями 8 см и 12 см и высотой 5 см. 3. В треугольнике ABC угол С = 90°, АС = 6 см, ВС = 8 см. Найдите гипотенузу АВ.

Доказательство:

Рассмотрим прямоугольник ABCD. Проведём диагонали AC и BD. Рассмотрим \( \triangle ABC \) и \( \triangle BAD \). \( AB \) — общая сторона. \( BC = AD \) (противоположные стороны прямоугольника). \( \angle ABC = \angle BAD = 90^{\circ} \) (углы прямоугольника). Следовательно, \( \triangle ABC = \triangle BAD \) по двум сторонам и углу между ними. Из равенства треугольников следует, что \( AC = BD \). Таким образом, диагонали прямоугольника равны.

Решение задач:

1. В ромбе ABCD \( \angle A = 60^{\circ} \), сторона \( AB = 10 \) см. Так как у ромба все стороны равны, то \( AB = BC = 10 \) см. \( \triangle ABC \) — равнобедренный с углом \( 60^{\circ} \) при основании, следовательно, он равносторонний. \( AC = AB = BC = 10 \) см. \( \triangle ABD \) также равнобедренный. \( \angle ABD = \angle ADB = (180^{\circ} - \angle A) / 2 = (180^{\circ} - 60^{\circ}) / 2 = 60^{\circ} \). Значит, \( \triangle ABD \) тоже равносторонний, \( BD = AB = AD = 10 \) см. Однако, если \( \angle A = 60^{\circ} \), то \( \angle B = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ} \). В \( \triangle ABC \), \( \angle ABC = 120^{\circ} \). Так как \( AB = BC \), то \( \angle BAC = \angle BCA = (180^{\circ} - 120^{\circ}) / 2 = 30^{\circ} \). Диагональ AC делит угол A пополам. \( \angle CAD = \angle BAC = 60^{\circ}/2 = 30^{\circ} \). В \( \triangle ADC \) \( AD = DC = 10 \) см, \( \angle D = 60^{\circ} \). Значит \( \triangle ADC \) равносторонний, \( AC = 10 \) см. Меньшая диагональ — AC.
2. Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту: \( S = \frac{a+b}{2} h \). \( S = \frac{8 \text{ см} + 12 \text{ см}}{2} \cdot 5 \text{ см} = \frac{20}{2} \cdot 5 = 10 \cdot 5 = 50 \) см².
3. По теореме Пифагора: \( AB^2 = AC^2 + BC^2 \). \( AB^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \). \( AB = \sqrt{100} = 10 \) см.

Ответ: 1. 10 см. 2. 50 см². 3. 10 см.