Билет 2. Теория: Признаки параллелограмма (один на выбор). Докажите один из признаков. Задачи: 1. Средняя линия трапеции равна 15 см, а меньшее основание — 10 см. Найдите большее основание. 2. В прямоугольнике ABCD диагональ АС образует со стороной АВ угол 30°. АВ = 6 см. Найдите диагональ АС. 3. Найдите площадь параллелограмма, если его стороны равны 8 см и 5 см, а угол между ними — 60°.

Доказательство признака параллелограмма:

Признак: Если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Доказательство: Пусть диагонали AC и BD четырехугольника ABCD пересекаются в точке O, причём \( AO = OC \) и \( BO = OD \). Рассмотрим \( \triangle AOB \) и \( \triangle COD \). \( AO = OC \) и \( BO = OD \) по условию. \( \angle AOB = \angle COD \) как вертикальные. Следовательно, \( \triangle AOB = \triangle COD \) по двум сторонам и углу между ними. Из равенства треугольников следует, что \( \angle BAC = \angle ACD \). Так как эти углы являются накрест лежащими при пересечении прямых AB и CD секущей AC, то AB \( \parallel \) CD. Аналогично, из равенства \( \triangle BOC = \triangle DOA \) (по тем же признакам) следует, что \( \angle BCA = \angle DAC \), откуда AD \( \parallel \) BC. Таким образом, четырехугольник ABCD имеет две пары параллельных сторон, значит, он является параллелограммом.

Решение задач:

1. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований: \( m = \frac{a+b}{2} \). \( 15 = \frac{10+b}{2} \). \( 30 = 10 + b \). \( b = 20 \) см.
2. В прямоугольном \( \triangle ABC \) \( \angle B = 90^{\circ} \). \( \cos(\angle BAC) = \frac{AB}{AC} \). \( \cos(30^{\circ}) = \frac{6}{AC} \). \( \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{6}{AC} \). \( AC = \frac{12}{\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3} \) см.
3. Площадь параллелограмма равна произведению двух сторон на синус угла между ними: \( S = ab \sin(\alpha) \). \( S = 8 \text{ см} \cdot 5 \text{ см} \cdot \sin(60^{\circ}) = 40 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 20\sqrt{3} \) см².

Ответ: 1. 20 см. 2. \( 4\sqrt{3} \) см. 3. \( 20\sqrt{3} \) см².