Билет 4. Теория: Определение и свойства ромба. Докажите, что диагонали ромба перпендикулярны и делят углы пополам. Задачи: 1. Найдите высоту ромба, сторона которого равна 10 см, а площадь — 60 см^2. 2. В равнобедренной трапеции основания равны 6 см и 14 см, боковая сторона — 5 см. Найдите высоту трапеции. 3. Найдите площадь прямоугольного треугольника с катетами 7 см и 9 см.

Доказательство:

Рассмотрим ромб ABCD. Диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Так как ромб является параллелограммом, то его диагонали точкой пересечения делятся пополам: \( AO = OC \) и \( BO = OD \). Рассмотрим \( \triangle ABC \) и \( \triangle ADC \). \( AB = AD \) и \( CB = CD \) (стороны ромба). \( AC \) — общая сторона. Следовательно, \( \triangle ABC = \triangle ADC \) по трём сторонам. Из равенства треугольников следует, что \( \angle BAC = \angle DAC \) и \( \angle BCA = \angle DCA \). Таким образом, диагонали ромба делят его углы пополам. Теперь рассмотрим \( \triangle AOB \) и \( \triangle COB \). \( AO = OC \) (диагонали точкой пересечения делятся пополам). \( AB = CB \) (стороны ромба). \( BO \) — общая сторона. Следовательно, \( \triangle AOB = \triangle COB \) по трём сторонам. Из равенства треугольников следует, что \( \angle AOB = \angle COB \). Так как \( \angle AOB + \angle COB = 180^{\circ} \) (развёрнутый угол), то \( 2 \angle AOB = 180^{\circ} \), откуда \( \angle AOB = 90^{\circ} \). Значит, диагонали ромба перпендикулярны.

Решение задач:

1. Площадь ромба равна произведению стороны на высоту: \( S = a \cdot h \). \( 60 \text{ см}^2 = 10 \text{ см} \cdot h \). \( h = \frac{60}{10} = 6 \) см.
2. В равнобедренной трапеции проведём высоту из вершины B к основанию AD. Пусть точка пересечения будет H. Тогда \( AH = \frac{AD - BC}{2} = \frac{14 - 6}{2} = \frac{8}{2} = 4 \) см. Рассмотрим прямоугольный \( \triangle ABH \). По теореме Пифагора: \( BH^2 = AB^2 - AH^2 \). \( BH^2 = 5^2 - 4^2 = 25 - 16 = 9 \). \( BH = \sqrt{9} = 3 \) см. Высота трапеции равна 3 см.
3. Площадь прямоугольного треугольника равна полупроизведению его катетов: \( S = \frac{1}{2} a \cdot b \). \( S = \frac{1}{2} \cdot 7 \text{ см} \cdot 9 \text{ см} = \frac{63}{2} = 31.5 \) см².

Ответ: 1. 6 см. 2. 3 см. 3. 31.5 см².