Билет №10 ФИ

Решение:

1. Определение вписанного угла: Вписанный угол — это угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность в двух точках. Определение центрального угла: Центральный угол — это угол, вершина которого совпадает с центром окружности.
2. Признак параллелограмма: Если две противоположные стороны четырехугольника равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм. Доказательство: Пусть дано четырехугольник ABCD, в котором AB || DC и AB = DC. Проведем диагональ AC. Треугольники ABC и CDA равны по первому признаку равенства треугольников (AB = DC, ∠BAC = ∠DCA как накрест лежащие при параллельных AB и DC и секущей AC, AC — общая сторона). Из равенства треугольников следует, что BC = AD и ∠BCA = ∠DAC. Так как ∠BCA = ∠DAC, то BC || AD. Таким образом, противоположные стороны четырехугольника попарно параллельны, что и доказывает, что ABCD — параллелограмм.
3. Решение: В треугольнике ABC медиана BM проведена к стороне AC. Точка M — середина AC. Следовательно, AM = MC = AC / 2. Так как AC = 26, то AM = 26 / 2 = 13.
4. Решение: Периметр параллелограмма ABCD = 2 * (AB + BC). Биссектриса AK угла A пересекает сторону BC в точке K. Так как AK — биссектриса, то ∠BAK = ∠KAD. Поскольку AB || DC, то ∠AKD = ∠BAK (как накрест лежащие при параллельных AB и DC и секущей AK). Следовательно, ∠AKD = ∠DAK. Треугольник ADK равнобедренный с основанием AK, поэтому AD = DK. Однако, биссектриса пересекает сторону BC. Пусть биссектриса угла A пересекает BC в точке K. Тогда ∠BAK = ∠KAD. Так как AB || DC, то ∠AKD = ∠BAK (накрест лежащие). Следовательно, ∠AKD = ∠DAK. Треугольник ADK равнобедренный, AD = DK. По условию, K лежит на BC. Значит, BK + KC = BC. Но биссектриса пересекает сторону BC. Значит, K лежит на BC. Пусть биссектриса угла A пересекает BC в точке K. Тогда ∠BAK = ∠KAD. Так как AD || BC, то ∠DAK = ∠AKB (накрест лежащие). Следовательно, ∠AKB = ∠BAK. Треугольник ABK равнобедренный с основанием AK, поэтому AB = BK. По условию, BK = 8. Значит, AB = 8. Так как BC = BK + KC, то BC = 8 + 13 = 21. Периметр параллелограмма ABCD = 2 * (AB + BC) = 2 * (8 + 21) = 2 * 29 = 58.