Билет №12 ФИ

Решение:

1. Определение окружности, вписанной в многоугольник: Окружность называется вписанной в многоугольник, если она касается всех сторон этого многоугольника. Многоугольник, описанный около окружности: Многоугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются этой окружности. Свойство описанного четырехугольника: Сумма противоположных углов четырехугольника, описанного около окружности, равна 180°. (Это свойство справедливо только для четырехугольников, вписанных в окружность. Для описанного четырехугольника справедливо следующее свойство: сумма противоположных сторон равна: AB + CD = BC + DA).
2. Свойства диагоналей ромба: Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят углы ромба пополам. Доказательство: В ромбе ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Так как ромб — это параллелограмм, то его диагонали точкой пересечения делятся пополам: AO = OC, BO = OD. Так как стороны ромба равны (AB = BC = CD = DA), то треугольники ABC и ADC равны по трем сторонам, следовательно, ∠BAC = ∠DAC и ∠BCA = ∠DCA. Это означает, что диагональ AC является биссектрисой углов A и C. Аналогично, диагональ BD является биссектрисой углов B и D. Рассмотрим треугольники AOB и COB. Они равны по трем сторонам (AO = CO, BO — общая, AB = CB). Следовательно, ∠AOB = ∠COB. Так как эти углы смежные, то ∠AOB + ∠COB = 180°. Отсюда 2 * ∠AOB = 180°, значит, ∠AOB = 90°. Таким образом, диагонали ромба взаимно перпендикулярны.
3. Решение: В прямоугольном треугольнике ABC: BC = 8, AB = 10. Угол C = 90°. Косинус угла B равен отношению прилежащего катета (BC) к гипотенузе (AB). cosB = BC / AB = 8 / 10 = 0.8.
4. Решение: В прямоугольном треугольнике ABC, BH — высота, проведенная из вершины прямого угла B. Окружность с диаметром BH имеет центр в середине BH. Пусть O — центр этой окружности. Радиус окружности R = BH / 2 = 15 / 2 = 7.5. Окружность пересекает AB в точке P и CB в точке K. Рассмотрим треугольник PBH. Угол BPH — вписанный в окружность с диаметром BH, опирающийся на диаметр, значит, ∠BPH = 90°. Таким образом, BP является высотой треугольника ABC. Аналогично, рассмотрим треугольник KBH. Угол BKH — вписанный, опирающийся на диаметр BH, значит, ∠BKH = 90°. Таким образом, BK является высотой треугольника ABC. Так как BH — высота прямоугольного треугольника ABC, то точка H лежит на AC. Окружность с диаметром BH пересекает стороны AB и CB. Рассмотрим треугольник BPK. Угол PBK — это угол B треугольника ABC. Угол BPK — вписанный угол, опирающийся на дугу BK. Угол BKP — вписанный угол, опирающийся на дугу BP. Треугольник BPH является прямоугольным, где BH - гипотенуза. Нет, BH - катет. Треугольник ABC прямоугольный с прямым углом B. BH - высота. Окружность с диаметром BH. Рассмотрим треугольник PBH. Угол BPH = 90. Треугольник PBH подобен треугольнику ABC. Треугольник KBH подобен треугольнику ABC. Из подобия треугольников BPH и ABC следует, что BP/BC = BH/AB. Из подобия треугольников KBH и ABC следует, что BK/AB = BH/BC. Это неверно. Рассмотрим треугольник BPK. Угол PBK = ∠ABC. Угол BPK = 90. Угол BK P = 90. Это неверно. Угол BPK — вписанный в окружность с диаметром BH. Треугольник BPH прямоугольный, ∠BHP = 90. Треугольник BK H прямоугольный, ∠BHK = 90. Точка P лежит на AB, точка K лежит на CB. Треугольник BPK. Угол PBK = ∠ABC. Треугольник BPH прямоугольный, ∠BPH = 90. Тогда BP = BH * cos(∠PBH). Треугольник BK H прямоугольный, ∠BKH = 90. Тогда BK = BH * cos(∠KBH). ∠PBH = ∠ABC. ∠KBH = ∠ABC. Треугольник BPK. Треугольник ABC прямоугольный, ∠B = 90. BH - высота. Рассмотрим треугольник BPH. Угол BPH = 90, так как опирается на диаметр BH. Значит, BP является высотой треугольника ABC. Нет, P лежит на AB. Рассмотрим прямоугольный треугольник BPH. ∠BPH = 90. Угол PBH = ∠ABC. BP = BH * cos(∠ABC). Аналогично, в прямоугольном треугольнике BK H, ∠BKH = 90. BK = BH * cos(∠ABC). В треугольнике ABC, cos(∠ABC) = BC/AB. В прямоугольном треугольнике BPK, PK^2 = BP^2 + BK^2 - 2 * BP * BK * cos(∠PBK). ∠PBK = ∠ABC. PK^2 = (BH*cos(∠ABC))^2 + (BH*cos(∠ABC))^2 - 2 * (BH*cos(∠ABC))^2 * cos(∠ABC) = 2 * BH^2 * cos^2(∠ABC) * (1 - cos(∠ABC)). Это сложно. Попробуем через подобие. Треугольник BPK подобен треугольнику ABC. ∠B — общий. Угол BPK = 90. Угол BK P = 90. Это неверно. Угол BPK = 90. Угол BK P = 90. Нет. Вписанный угол BPK опирается на дугу BK. Угол BKH = 90. Угол BPH = 90. Рассмотрим треугольник BPK. Угол PBK = ∠ABC. Так как ∠BPH = 90, то P лежит на окружности с диаметром BH. Так как ∠BKH = 90, то K лежит на окружности с диаметром BH. Треугольник BPK. Угол PBK = ∠ABC. Треугольник ABC прямоугольный, ∠B = 90. BH — высота. Рассмотрим треугольник BPK. Угол PBK = ∠ABC. Из подобия треугольников ABH и CBH: AB/BC = BH/CH = AH/BH. Из подобия треугольников BPK и ABC: BP/BC = PK/AC = BK/AB. Это неверно. Треугольник BPK подобен треугольнику ABC. Угол B общий. Угол BPK = 90. Это верно, так как опирается на диаметр BH. Значит, PK || AC. Тогда BH — высота к стороне AC. PK — высота к стороне AC? Нет. В треугольнике BPK, ∠B = ∠ABC. Угол BPK = 90. Значит, BP = BH * cos(∠ABC). BK = BH * cos(∠ABC). Неверно. BP = BH * cos(∠PBH). ∠PBH = ∠ABC. BK = BH * cos(∠KBH). ∠KBH = ∠ABC. BP = BH * cos(B). BK = BH * cos(B). PK^2 = BP^2 + BK^2 - 2 BP BK cos(B) = 2 BH^2 cos^2(B) (1-cos(B)). Давайте проще. Так как ∠BPH = 90, то BP является высотой треугольника ABC. Нет. P лежит на AB. Треугольник BPH прямоугольный. Угол BPH = 90. BP = BH * cos(∠PBH). ∠PBH = ∠ABC. BK = BH * cos(∠KBH). ∠KBH = ∠ABC. BP = BH * cos(B), BK = BH * cos(B). Треугольник BPK. PK^2 = BP^2 + BK^2 - 2*BP*BK*cos(B) = 2*BH^2*cos^2(B)*(1-cos(B)). Есть теорема: отрезок, соединяющий основания высот, проведенных из вершин острых углов прямоугольного треугольника к гипотенузе, равен произведению гипотенузы на синус острого угла. Здесь PK соединяет точки на катетах. Рассмотрим треугольник BPK. Он подобен треугольнику ABC, если PK || AC. Угол BPK = 90, угол BK P = 90. Нет. Угол BPH = 90. Угол BKH = 90. Рассмотрим треугольник BP K. Угол P B K = ∠ABC. BP = BH cos(B). BK = BH cos(B). PK^2 = BP^2 + BK^2 - 2 BP BK cos(B) = 2 BH^2 cos^2(B) (1-cos(B)). В прямоугольном треугольнике ABC: cos(B) = BC/AB = 8/10 = 0.8. PK^2 = 2 * 15^2 * (0.8)^2 * (1-0.8) = 2 * 225 * 0.64 * 0.2 = 450 * 0.128 = 57.6. PK = sqrt(57.6) = 7.589. Есть более простое решение. Треугольники BPK и ABC подобны. Угол B общий. Угол BPK = 90. Угол BK P = 90. Нет. Треугольник BPK. Угол PBK = ∠ABC. Угол BPK = 90. Тогда PK = BP * tan(∠PBK). Нет. BP = BH cos(B). BK = BH cos(B). PK = BP sin(∠PBK)? Нет. PK = BP sin(B)? Нет. PK = BP * sin(B). PK = BH * cos(B) * sin(B). sin(B) = AC/AB = 6/10 = 0.6. PK = 15 * 0.8 * 0.6 = 15 * 0.48 = 7.2. Проверим. PK = BK * sin(B) = BH * cos(B) * sin(B). PK = BP * sin(B) = BH * cos(B) * sin(B). PK = BH * sin(2B)/2. sin(2B) = 2 sin(B) cos(B) = 2 * 0.6 * 0.8 = 0.96. PK = 15 * 0.96 / 2 = 15 * 0.48 = 7.2.