Билет №9 ФИ

Решение:

1. Определение секущей: Секущая — это прямая, которая имеет с окружностью две общие точки. Определение касательной: Касательная — это прямая, которая имеет с окружностью ровно одну общую точку.
2. Свойство диагоналей прямоугольника: Диагонали прямоугольника равны и в точке пересечения делятся пополам. Доказательство: В прямоугольнике ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Треугольники ABC и BAD равны по двум сторонам и углу между ними (AB = BA, BC = AD, ∠ABC = ∠BAD = 90°). Следовательно, AC = BD. Так как диагонали прямоугольника равны, а точка пересечения делит каждую диагональ пополам, то AO = OC = BO = OD.
3. Решение: В ромбе все стороны равны, значит, AB = 4. Один из углов ∠A = 150°. Противоположный угол ∠C = 150°. Сумма углов ромба равна 360°, значит, ∠B = ∠D = (360° - 150° - 150°) / 2 = 60° / 2 = 30°. Высота ромба, проведенная из вершины B к стороне AD, равна: h = AB * sin(∠A) = 4 * sin(150°) = 4 * 0.5 = 2.
4. Решение: Пусть диагонали ромба пересекаются в точке O. Расстояние от O до стороны равно 19, это высота треугольника AOB, проведенная из O к стороне AB. Пусть d1 = 76. Тогда половина диагонали d1/2 = 38. Пусть сторона ромба равна 'a'. В прямоугольном треугольнике AOB (где AO = 38, OB = d2/2, AB = a) высота OK = 19. Площадь треугольника AOB = 1/2 * AO * OB = 1/2 * 38 * (d2/2) = 19 * d2. Также площадь треугольника AOB = 1/2 * AB * OK = 1/2 * a * 19. Имеем 19 * d2 = 19a/2, откуда d2 = a/2. По теореме Пифагора: (d1/2)^2 + (d2/2)^2 = a^2. 38^2 + (a/4)^2 = a^2. 1444 = a^2 - a^2/16 = 15a^2/16. a^2 = 1444 * 16 / 15. a = sqrt(1444 * 16 / 15) = 38 * 4 / sqrt(15) = 152 / sqrt(15). Теперь найдем углы. Пусть ∠OAB = α. В треугольнике AOB: sin(α) = OB/AB = (d2/2)/a = (a/4)/a = 1/4. α = arcsin(1/4). Углы ромба равны 2α и 180° - 2α.