Билет 11. 4. Высоты остроугольного треугольника NPT, прведенные из вершин № и Р, пересекаются в точке К, угол Т равен 56°. Найти угол NKP.

Нахождение угла в треугольнике

Дано: \( \triangle NPT \) — остроугольный, \( NK \) и \( PM \) — высоты (предполагаем, что \( PM \) — высота из \( P \) на \( NT \), а \( NK \) — высота из \( N \) на \( PT \)), \( K \) — точка пересечения высот, \( \angle T = 56^{\circ} \).

Найти: \( \angle NKP \).

Решение:

1. Пусть \( NK \) — высота из \( N \) на \( PT \), значит \( \angle NKP = 90^{\circ} \).
2. Пусть \( PM \) — высота из \( P \) на \( NT \), значит \( \angle PMT = 90^{\circ} \).
3. Рассмотрим \( \triangle PTM \) (прямоугольный треугольник).
4. \( \angle TPM = 90^{\circ} - \angle T = 90^{\circ} - 56^{\circ} = 34^{\circ} \).
5. Теперь рассмотрим \( \triangle KPT \) (прямоугольный треугольник, так как \( NK \) — высота).
6. \( \angle PKT = 90^{\circ} \).
7. Угол \( \angle T = 56^{\circ} \) (по условию).
8. В \( \triangle KPT \) сумма углов равна \( 180^{\circ} \).
9. \( \angle KPT = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 56^{\circ} = 34^{\circ} \).
10. Теперь рассмотрим \( \triangle NKP \).
11. \( NK \) — высота, значит \( \angle NKP = 90^{\circ} \).
12. \( \angle KNP \) — это \( \angle PNT \).
13. \( PM \) — высота, значит \( \angle PMN = 90^{\circ} \).
14. В \( \triangle NMP \) \( \angle NMP = 90^{\circ} \).
15. \( \angle MNP = 90^{\circ} - \angle T = 90^{\circ} - 56^{\circ} = 34^{\circ} \).
16. В \( \triangle NKP \) сумма углов равна \( 180^{\circ} \).
17. \( \angle NKP = 180^{\circ} - \angle KNP - \angle KPN \).
18. \( \angle KNP = \angle MNP = 34^{\circ} \).
19. \( \angle KPN = \angle TPM = 34^{\circ} \).
20. \( \angle NKP = 180^{\circ} - 34^{\circ} - 34^{\circ} = 180^{\circ} - 68^{\circ} = 112^{\circ} \).

Ответ: \( 112^{\circ} \).