Билет 12. 4. Доказать, что в равнобедренном треугольнике медианы, проведенные к боковым сторонам, равны.

Равенство медиан в равнобедренном треугольнике

Дано: \( \triangle ABC \) — равнобедренный, \( AB = AC \). \( BM \) и \( CN \) — медианы, \( M \) — середина \( AC \), \( N \) — середина \( AB \).

Доказать: \( BM = CN \).

Доказательство:

1. Рассмотрим \( \triangle ABM \) и \( \triangle ACN \).
2. \( AB = AC \) (по условию, так как \( \triangle ABC \) — равнобедренный).
3. \( \angle A \) — общий для обоих треугольников.
4. Так как \( BM \) — медиана, то \( AM = \frac{1}{2} AC \).
5. Так как \( CN \) — медиана, то \( AN = \frac{1}{2} AB \).
6. Поскольку \( AB = AC \), то \( \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} AB \), следовательно, \( AM = AN \).
7. По двум сторонам и углу между ними \( \triangle ABM = \triangle ACN \) (по первому признаку равенства треугольников).
8. Из равенства треугольников следует, что их соответствующие стороны равны: \( BM = CN \).

Что и требовалось доказать.