Билет №11 1. Средняя линия треугольника (определение, теорема и доказательство) 2. В треугольнике ABC угол C равен 90°, а угол В равен 70°. На катете АС отложен отрезок CD, равный СВ. Найти углы треугольника ABD

Решение:

2. Задача про треугольник ABC

1. В треугольнике ABC угол C = 90°, угол B = 70°. Следовательно, угол A = \( 180° - 90° - 70° = 20° \).
2. Отрезок CD равен CB. Треугольник CDB — равнобедренный.
3. Угол CBD = угол B = 70°.
4. Угол BCD — внешний угол треугольника ABC при вершине C, но это некорректно. Правильнее: угол ACB = 90°.
5. Угол BCD — смежный с углом ACB, но точка D лежит на AC.
6. В равнобедренном треугольнике CDB, угол CBD = 70°. Угол BDC = угол BCD.
7. Угол ACB = 90°. Угол BCD — это часть угла ACB.
8. Рассмотрим треугольник CDB. Угол CBD = 70°. Отрезок CD = CB. Треугольник CDB — равнобедренный.
9. Угол BDC = угол BCD.
10. Сумма углов в треугольнике CDB: \( 70° + \angle BDC + \angle BCD = 180° \)
11. \( 2 \cdot \angle BCD + 70° = 180° \)
12. \( 2 \cdot \angle BCD = 110° \)
13. \( \angle BCD = 55° \).
14. Это ошибка. Точка D лежит на катете AC. Значит, угол BCD — это угол ACB, который равен 90°.
15. Корректное решение:
16. В треугольнике ABC: \( \angle C = 90°, \angle B = 70°, \angle A = 180° - 90° - 70° = 20° \).
17. На катете AC отложен отрезок CD, равный CB. Треугольник CDB — равнобедренный (CD = CB).
18. Угол CBD = 70° (так как он совпадает с углом B треугольника ABC).
19. Угол BDC = угол BCD.
20. В треугольнике CDB: \( \angle CBD + \angle BDC + \angle BCD = 180° \).
21. \( 70° + 2 \cdot \angle BCD = 180° \)
22. \( 2 \cdot \angle BCD = 110° \)
23. \( \angle BCD = 55° \).
24. Угол ABD — это угол B треугольника ABC, который равен 70°.
25. Треугольник ABD. Угол A = 20°. Угол ABD = 70°. Угол ADB = 55°.
26. Сумма углов треугольника ABD: \( 20° + 70° + 55° = 145° \). Это не 180°. Ошибка в условии или интерпретации.
27. Перечитаем условие: На катете АС отложен отрезок CD, равный СВ.
28. Значит, точка D лежит на отрезке AC.
29. Угол ABC = 70°.
30. Рассмотрим треугольник ABC: \( \angle A = 20°, \angle B = 70°, \angle C = 90° \).
31. CD = CB. Треугольник CDB — равнобедренный.
32. Угол CBD = \( \angle B_{ABC} = 70° \).
33. Угол BDC = угол BCD.
34. В треугольнике CDB: \( \angle CBD + \angle BDC + \angle BCD = 180° \)
35. \( 70° + 2 \cdot \angle BCD = 180° \)
36. \( 2 \cdot \angle BCD = 110° \)
37. \( \angle BCD = 55° \).
38. Это угол при вершине C в треугольнике CDB.
39. Углы треугольника ABD:
40. \( \angle A = 20° \).
41. \( \angle ABD \) — это весь угол B треугольника ABC, то есть 70°.
42. \( \angle ADB \) — это внешний угол треугольника BDC при вершине D.
43. \( \angle ADB = 180° - \angle BDC \).
44. \( \angle BDC = 55° \) (из равнобедренного треугольника CDB).
45. \( \angle ADB = 180° - 55° = 125° \).
46. Проверим сумму углов в треугольнике ABD: \( \angle A + \angle ABD + \angle ADB = 20° + 70° + 125° = 215° \). Это ошибка.
47. Вернемся к равнобедренному треугольнику CDB.
48. CD = CB. Угол C — общий для треугольников ABC и CDB. \( \angle ACB = 90° \).
49. В равнобедренном треугольнике CDB, углы при основании BD равны: \( \angle CDB = \angle CBD \).
50. \( \angle BCD = 90° \) (так как D лежит на AC, и угол ACB = 90°).
51. Тогда \( \angle CDB + \angle CBD = 180° - 90° = 90° \).
52. \( \angle CDB = \angle CBD = 90° / 2 = 45° \).
53. Углы треугольника ABD:
54. \( \angle A = 20° \) (из треугольника ABC).
55. \( \angle ABD \) — это часть угла ABC. \( \angle ABC = 70° \).
56. \( \angle ABD = \angle ABC - \angle DBC \).
57. В треугольнике CDB: CD=CB, \( \angle C = 90° \). Значит \( \angle CDB = \angle CBD = 45° \).
58. \( \angle ABD = 70° - 45° = 25° \).
59. \( \angle ADB = \angle CDB = 45° \) (из равнобедренного треугольника CDB).
60. Проверим сумму углов в треугольнике ABD: \( \angle A + \angle ABD + \angle ADB = 20° + 25° + 45° = 90° \). Это тоже не 180°.
61. Перечитаем условие еще раз.
62. В треугольнике ABC угол C равен 90°, а угол В равен 70°. На катете АС отложен отрезок CD, равный СВ.
63. Это означает, что D лежит на AC.
64. Угол ABC = 70°. Угол A = 20°.
65. Треугольник CDB: CD = CB. Это означает, что C — вершина, а BD — основание.
66. Углы при основании BD равны: \( \angle CDB = \angle CBD \).
67. \( \angle BCD \) — это угол C в треугольнике CDB. \( \angle ACB = 90° \).
68. Если D лежит на AC, то \( \angle BCD \) — это тот же угол \( \angle ACB \), то есть 90°.
69. Тогда \( \angle CDB + \angle CBD = 180° - 90° = 90° \).
70. \( \angle CDB = \angle CBD = 45° \).
71. Теперь найдем углы треугольника ABD.
72. \( \angle A = 20° \).
73. \( \angle ABD \) — это часть угла ABC. \( \angle ABC = 70° \).
74. \( \angle ABD = \angle ABC - \angle DBC \).
75. \( \angle DBC = 45° \).
76. \( \angle ABD = 70° - 45° = 25° \).
77. \( \angle ADB \) — это угол при вершине D в треугольнике ABD.
78. \( \angle ADB \) и \( \angle CDB \) — смежные углы. \( \angle CDB = 45° \).
79. \( \angle ADB = 180° - 45° = 135° \).
80. Проверим сумму углов в треугольнике ABD: \( \angle A + \angle ABD + \angle ADB = 20° + 25° + 135° = 180° \). Все верно.

Ответ: Углы треугольника ABD: \( \angle A = 20°, \angle ABD = 25°, \angle ADB = 135° \).