Билет №13 1. Теорема о вписанном угле (определение и доказательство). Следствия.

Решение:

1. Теорема о вписанном угле

Определение: Вписанный угол — это угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность в двух других точках.

Теорема: Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу, или половине градусной меры дуги, заключенной внутри угла.

Доказательство:

Рассмотрим три случая:

1. Центр окружности лежит на одной из сторон вписанного угла.
2. Пусть \( \angle ABC \) — вписанный угол, а центр окружности O лежит на стороне AB.
3. \( OA = OC = OB = R \) (радиусы окружности).
4. Треугольник AOC — равнобедренный (OA = OC), следовательно, \( \angle OAC = \angle OCA \).
5. \( \angle AOC \) — центральный угол, опирающийся на дугу AC.
6. \( \angle OBC \) — внешний угол треугольника AOC.
7. \( \angle OBC = \angle OAC + \angle OCA = 2 \cdot \angle OCA \).
8. Так как \( \angle OBC \) — это вписанный угол \( \angle ABC \), а \( \angle AOC \) — центральный угол, то \( \angle ABC = \frac{1}{2} \angle AOC \).
9. Центр окружности лежит внутри вписанного угла.
10. Проведем через вершину B и центр окружности O диаметр BD.
11. \( \angle ABC = \angle ABD + \angle DBC \).
12. По первому случаю, \( \angle ABD = \frac{1}{2} \angle AOD \) и \( \angle DBC = \frac{1}{2} \angle DOC \).
13. \( \angle ABC = \frac{1}{2} \angle AOD + \frac{1}{2} \angle DOC = \frac{1}{2} (\angle AOD + \angle DOC) = \frac{1}{2} \angle AOC \).
14. Центр окружности лежит вне вписанного угла.
15. Проведем через вершину B и центр окружности O диаметр BD.
16. \( \angle ABC = \angle DBC - \angle DBA \).
17. По первому случаю, \( \angle DBC = \frac{1}{2} \angle DOC \) и \( \angle DBA = \frac{1}{2} \angle DOA \).
18. \( \angle ABC = \frac{1}{2} \angle DOC - \frac{1}{2} \angle DOA = \frac{1}{2} (\angle DOC - \angle DOA) = \frac{1}{2} \angle AOC \).

Следствия из теоремы о вписанном угле:

1. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
2. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен 90° (прямой угол).
3. Если две хорды пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды (теорема о пересекающихся хордах).