Билет 13. 4. Один из острых углов прямоугольного треугольника равен 21°. Найти угол между биссектрисой и высотой, проведенной из вершины прямого угла.

Решение:

Пусть дан прямоугольный треугольник \( ABC \), \( ∠ B = 90^\circ \). Пусть \( ∠ C = 21^\circ \).

Тогда \( ∠ A = 90^\circ - 21^\circ = 69^\circ \).

Пусть \( BH \) — высота, проведенная из вершины \( B \) к гипотенузе \( AC \). В прямоугольном треугольнике \( BHC \), \( ∠ BHC = 90^\circ \). Тогда \( ∠ HBC = 90^\circ - ∠ C = 90^\circ - 21^\circ = 69^\circ \).

Пусть \( BL \) — биссектриса, проведенная из вершины \( B \) к гипотенузе \( AC \). Биссектриса делит прямой угол \( ∠ B = 90^\circ \) пополам, поэтому \( ∠ ABL = ∠ CBL = 90^\circ / 2 = 45^\circ \).

Угол между высотой \( BH \) и биссектрисой \( BL \) равен \( |∠ HBC - ∠ CBL| \).

\( |∠ HBC - ∠ CBL| = |69^\circ - 45^\circ| = 24^\circ \).

Если бы мы взяли другой острый угол, например \( ∠ A = 21^\circ \), то \( ∠ C = 69^\circ \). Тогда \( ∠ HBA = 90^\circ - 69^\circ = 21^\circ \) и \( ∠ CBL = 45^\circ \). Угол между ними будет \( |45^\circ - 21^\circ| = 24^\circ \).

Ответ: 24°.