Билет 14. 4. В прямоугольном треугольнике КРЕ угол Р равен 90°, угол К равен 60°. На катете РЕ отметили точку М такую, что угол КМР равен 60°. Найти РМ, если ЕМ = 6.

Решение:

Дан прямоугольный треугольник \( ╍ KPE \), \( ∠ P = 90^\circ \), \( ∠ K = 60^\circ \).

Тогда \( ∠ E = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ \).

Точка \( M \) лежит на катете \( PE \). Угол \( ∠ KMP = 60^\circ \).

Рассмотрим треугольник \( ╍ KMP \).

\( ∠ P = 90^\circ \), \( ∠ KMP = 60^\circ \).

Следовательно, \( ∠ PKM = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ \).

В треугольнике \( ╍ KMP \) \( ∠ PKM = 30^\circ \) и \( ∠ KMP = 60^\circ \).

Угол \( ∠ PKM \) равен \( 30^\circ \), что совпадает с углом \( ∠ E \) треугольника \( ╍ KPE \).

Рассмотрим треугольник \( ╍ KMP \). Это прямоугольный треугольник с углом \( 30^\circ \). Следовательно, катет \( PM \) лежит против угла \( 30^\circ \), и его длина равна половине гипотенузы \( KP \).

\( PM = \frac{1}{2} KP \).

Теперь рассмотрим треугольник \( ╍ KPE \).

\( ∠ P = 90^\circ \), \( ∠ K = 60^\circ \), \( ∠ E = 30^\circ \).

В этом треугольнике катет \( PE \) лежит против угла \( 60^\circ \), а катет \( KP \) лежит против угла \( 30^\circ \). Нет, катет \( PE \) лежит против угла \( 60^\circ \), а катет \( KP \) против угла \( 30^\circ \).

В прямоугольном треугольнике \( ╍ KPE \) против угла \( 30^\circ \) (угол \( ∠ E \)) лежит катет \( KP \), а против угла \( 60^\circ \) (угол \( ∠ K \)) лежит катет \( PE \).

\( PE = KP \tan(60^\circ) = KP \times √{3} \).

\( KP = PE / √{3} \).

Мы знаем, что \( PE = PM + ME \). Дано \( ME = 6 \).

\( PE = PM + 6 \).

Из треугольника \( ╍ KMP \): \( PM = \frac{KP}{√{3}} \) (так как \( ∠ PKM = 30^\circ \)).

Подставим \( KP = PE / √{3} \) в выражение для \( PM \):

\( PM = \frac{PE / √{3}}{√{3}} = \frac{PE}{3} \).

Теперь подставим \( PE = PM + 6 \):

\( PM = \frac{PM + 6}{3} \).

\( 3PM = PM + 6 \).

\( 2PM = 6 \).

\( PM = 3 \).

Ответ: 3.